Sejam F e G operadores lineares em \mathbb{R}^{2} definidos por F(x, y)=(x, y) e G(x, y)=(0, y). Determine
3 F+2 G

Passo 1

O enunciado dá dois operadores lineares em \mathbb{R}^{2}:
F(x,y)=(x,y)
G(x,y)=(0,y)
E pede para determinar o operador 3F+2G.
Informações relevantes: as imagens de um vetor (x,y) por F e por G estão explicitadas acima; queremos a ação do operador 3F+2G sobre um vetor genérico (x,y).

Passo 2

Relembrando a definição que vamos usar (passo-a-passo, como em prova): se F e G são operadores lineares, então para escalares a,b o operador aF+bG age em um vetor v por
(aF+bG)(v)=a\,F(v)+b\,G(v).
Isto vem diretamente das propriedades de linearidade (multiplicação por escalar e soma de operadores). Aqui a=3 e b=2. Vamos aplicar essa fórmula ao vetor genérico (x,y).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
(3F+2G)(x,y)=3\,F(x,y)+2\,G(x,y).
Agora substituímos as expressões dadas de F(x,y) e G(x,y):
F(x,y)=(x,y),\qquad G(x,y)=(0,y).

Passo 4

Calculemos os termos escalares:
3\,F(x,y)=3\,(x,y)=(3x,3y),
2\,G(x,y)=2\,(0,y)=(0,2y).
Agora somamos os dois vetores componente a componente:
(3x,3y)+(0,2y)=(3x,\,3y+2y)=(3x,\,5y).

Passo 5

Interpretação matricial (útil para conferir): em base canônica F é a matriz identidade
F\sim \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
e G tem matriz
G\sim \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
portanto
3F+2G\sim 3\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix},
o que confirma que (3F+2G)(x,y)=(3x,5y). Também dá para ver que
(3F+2G)(1,0)=(3,0),\qquad (3F+2G)(0,1)=(0,5),
como cheque rápido.]

Resposta

(3F+2G)(x,y)=(3x,5y)

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