Sejam
e
operadores lineares em
definidos por
e
. Determine
Passo 1
O enunciado dá dois operadores lineares em
:
E pede para determinar o operador
.
Informações relevantes: as imagens de um vetor por
e por
estão explicitadas acima; queremos a ação do operador
sobre um vetor genérico
.
Informações relevantes: as imagens de um vetor
Passo 2
Relembrando a definição que vamos usar (passo-a-passo, como em prova): se
e
são operadores lineares, então para escalares
o operador
age em um vetor
por
Isto vem diretamente das propriedades de linearidade (multiplicação por escalar e soma de operadores). Aqui
e
. Vamos aplicar essa fórmula ao vetor genérico
.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
Agora substituímos as expressões dadas de
e
:
Passo 4
Calculemos os termos escalares:
Agora somamos os dois vetores componente a componente:
Passo 5
Interpretação matricial (útil para conferir): em base canônica
é a matriz identidade
e
tem matriz
portanto
o que confirma que
. Também dá para ver que
como cheque rápido.]