Determine o núcleo das transformações lineares.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, dada por T(x, y)=y+2 x, para (x, y) \in \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} definida por
T(x,y)=y+2x
para (x,y)\in\mathbb{R}^{2}. A pergunta é: determinar o núcleo de T, ou seja, o conjunto de todos os vetores de \mathbb{R}^{2} que são levados ao vetor zero em \mathbb{R}.

Passo 2

O que é o núcleo de uma transformação linear? Vou explicar devagarinho: o núcleo (ou kernel) de T é o conjunto
\ker(T)=\{v\in\mathbb{R}^{2}\mid T(v)=0\}.
Ou seja, precisamos achar todos os pares (x,y) tais que T(x,y)=0. Essa definição é essencial: é exatamente o que pediram.

Passo 3

Escrevendo explicitamente a condição T(x,y)=0 usando a fórmula dada:
T(x,y)=y+2x=0.
Portanto precisamos resolver a equação linear em x e y
y+2x=0.

Passo 4

Vamos isolar uma variável para expressar todos os vetores do núcleo de forma simples. Da equação y+2x=0 temos
y=-2x.
Isso significa que qualquer vetor no núcleo tem a forma (x,y)=(x,-2x).

Passo 5

Agora parametrize dizendo x=t, com t\in\mathbb{R}. Assim
(x,y)=(t,-2t)=t(1,-2).
Isto mostra que todo vetor do núcleo é um múltiplo escalar de (1,-2).

Passo 6

Concluímos então que o núcleo é a reta através da origem gerada por (1,-2), isto é, um subespaço unidimensional de \mathbb{R}^{2}. Para checar rapidamente: aplique T ao gerador,
T(1,-2)=(-2)+2\cdot 1=0,
portanto (1,-2) pertence ao núcleo e gera todo ele.

Resposta

\ker(T)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y=-2x\}=\text{span}\{(1,-2)\}

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