Determine o núcleo das transformações lineares.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, dada por T(x, y)=y+2 x, para (x, y) \in \mathbb{R}^{2}.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, dada por T(x, y)=y+2 x, para (x, y) \in \mathbb{R}^{2}.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
para
. A pergunta é: determinar o núcleo de
, ou seja, o conjunto de todos os vetores de
que são levados ao vetor zero em
.
Passo 2
O que é o núcleo de uma transformação linear? Vou explicar devagarinho: o núcleo (ou kernel) de
é o conjunto
Ou seja, precisamos achar todos os pares
tais que
. Essa definição é essencial: é exatamente o que pediram.
Passo 3
Escrevendo explicitamente a condição
usando a fórmula dada:
Portanto precisamos resolver a equação linear em
e
Passo 4
Vamos isolar uma variável para expressar todos os vetores do núcleo de forma simples. Da equação
temos
Isso significa que qualquer vetor no núcleo tem a forma
.
Passo 5
Agora parametrize dizendo
, com
. Assim
Isto mostra que todo vetor do núcleo é um múltiplo escalar de
.
Passo 6
Concluímos então que o núcleo é a reta através da origem gerada por
, isto é, um subespaço unidimensional de
. Para checar rapidamente: aplique
ao gerador,
portanto
pertence ao núcleo e gera todo ele.