Exercício 2. Dê exemplos de transformações lineares
T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, tal que \operatorname{dim}\left[T\left(\mathbb{R}^{4}\right)\]=3.

Passo 1

O enunciado pede exemplos de transformações lineares T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} tais que \operatorname{dim}\!\big[T(\mathbb{R}^{4})\big]=3.\n
Informações dadas e objetivo claro:
\text{domínio: }\mathbb{R}^{4},\qquad \text{contradomínio: }\mathbb{R}^{4},\qquad \dim\big(T(\mathbb{R}^{4})\big)=3.íí

Passo 2

O que é preciso construir na prática (explicação didática):
Uma transformação linear T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4} pode ser representada, na base canônica, por uma matriz 4\times4 A tal que, para todo vetor x\in\mathbb{R}^4,
T(x)=A x.
O espaço imagem T(\mathbb{R}^{4}) é o espaço gerado pelas colunas de A (chamado de espaço coluna ou coluna de A). A dimensão de T(\mathbb{R}^{4}) é exatamente o posto (rank) de A:
\dim\big(T(\mathbb{R}^{4})\big)=\operatorname{rank}(A).
Portanto, precisamos escolher uma matriz A de ordem 4 com \operatorname{rank}(A)=3. Uma maneira simples e confiável de garantir \operatorname{rank}(A)=3 é colocar três colunas linearmente independentes e fazer a quarta coluna ser combinação linear das três primeiras.

Passo 3

Exemplo simples: projeção sobre as três primeiras coordenadas (fácil de visualizar e checar)
Definimos T_1:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4} por
T_1(x_1,x_2,x_3,x_4) = (x_1,x_2,x_3,0).
Matriz associada A_1 (colunas são imagens dos vetores da base canônica):
A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Verificação de que \operatorname{rank}(A_1)=3:
  • As três primeiras colunas são os vetores \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3, que são linearmente independentes.
  • A quarta coluna é o vetor nulo, que não aumenta a independência.
    Logo as colunas geram um subespaço de dimensão 3, ou seja \dim\big(T_1(\mathbb{R}^4)\big)=3.
    Além disso, pelo Teorema do Núcleo e Imagem (rank-nullity),
\dim(\ker T_1)+\dim(\operatorname{Im} T_1)=4,
então \dim(\ker T_1)=1. De fato \ker T_1=\operatorname{span}\{(0,0,0,1)\}.]

Passo 4

Exemplo com colunas dependentes não triviais (mesma ideia, mas não alinhado com as coordenadas)
Definimos T_2:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4} cujas colunas são
\mathbf{c}_1=(1,0,0,0)^\top, \mathbf{c}_2=(0,1,0,0)^\top, \mathbf{c}_3=(0,0,1,0)^\top e \mathbf{c}_4=\mathbf{c}_1+\mathbf{c}_2+\mathbf{c}_3.
A matriz associada A_2 é
A_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Verificação de \operatorname{rank}(A_2)=3:
  • As três primeiras colunas são independentes (são \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3).
  • A quarta coluna é soma das três primeiras, logo não adiciona independência.
    Portanto \dim\big(T_2(\mathbb{R}^4)\big)=3.
    Cálculo do núcleo de forma explícita: procuramos x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^\top tal que A_2 x=0. Escrevendo em termos de colunas,
x_1\mathbf{c}_1+x_2\mathbf{c}_2+x_3\mathbf{c}_3+x_4\mathbf{c}_4 = 0.
Como \mathbf{c}_4=\mathbf{c}_1+\mathbf{c}_2+\mathbf{c}_3, isso vira
(x_1+x_4)\mathbf{c}_1 + (x_2+x_4)\mathbf{c}_2 + (x_3+x_4)\mathbf{c}_3 = 0.
Pela independência de \mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\mathbf{c}_3 segue x_1+x_4=0, x_2+x_4=0, x_3+x_4=0. Tomando x_4=t obtemos x=(-t,-t,-t,t)=t(-1,-1,-1,1). Assim \ker T_2=\operatorname{span}\{(-1,-1,-1,1)\}, de dimensão 1, consistente com rank 3.]

Passo 5

Como construir em geral (dicas práticas para a prova):
  • Escolha três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^4: v_1,v_2,v_3.
  • Defina as três primeiras colunas da matriz como v_1,v_2,v_3.
  • Faça a quarta coluna ser qualquer combinação linear de v_1,v_2,v_3 (por exemplo v_1+v_2+v_3).
    Isso garante que o posto da matriz seja 3. Para verificar rápido na prova, olhe as colunas: se você encontrar três colunas que não podem ser obtidas linearmente umas das outras, e a quarta for combinação delas, então o posto é 3.

Passo 6

Resumo rápido do que verificamos e incentivo:
  • Mostrei dois exemplos concretos de T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4 com \dim(\operatorname{Im}T)=3 e expliquei como checar o posto e o núcleo.
  • Na prova, se pedirem apenas um exemplo, o primeiro (projeção sobre as três primeiras coordenadas) é o mais simples de escrever e justificar. Se quiserem um exemplo não-trivial, o segundo serve bem.
    Força aí — você já tem o esquema prático para criar e verificar outros exemplos na hora!

Resposta

T_1(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1,x_2,x_3,0) com matriz
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
T_2 definida por imagens das bases com matriz
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}]

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