Exercício 2. Dê exemplos de transformações lineares T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, tal que \operatorname{dim}\left[T\left(\mathbb{R}^{4}\right)\]=3.
Passo 1
O enunciado pede exemplos de transformações lineares T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} tais que \operatorname{dim}\!\big[T(\mathbb{R}^{4})\big]=3.\n
Informações dadas e objetivo claro:
O que é preciso construir na prática (explicação didática):
Uma transformação linear T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4} pode ser representada, na base canônica, por uma matriz 4\times4A tal que, para todo vetor x\in\mathbb{R}^4,
T(x)=A x.
O espaço imagem T(\mathbb{R}^{4}) é o espaço gerado pelas colunas de A (chamado de espaço coluna ou coluna de A). A dimensão de T(\mathbb{R}^{4}) é exatamente o posto (rank) de A:
Portanto, precisamos escolher uma matriz A de ordem 4 com \operatorname{rank}(A)=3. Uma maneira simples e confiável de garantir \operatorname{rank}(A)=3 é colocar três colunas linearmente independentes e fazer a quarta coluna ser combinação linear das três primeiras.
Passo 3
Exemplo simples: projeção sobre as três primeiras coordenadas (fácil de visualizar e checar)
Definimos T_1:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4} por
T_1(x_1,x_2,x_3,x_4) = (x_1,x_2,x_3,0).
Matriz associada A_1 (colunas são imagens dos vetores da base canônica):
As três primeiras colunas são os vetores \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3, que são linearmente independentes.
A quarta coluna é o vetor nulo, que não aumenta a independência.
Logo as colunas geram um subespaço de dimensão 3, ou seja \dim\big(T_1(\mathbb{R}^4)\big)=3.
Além disso, pelo Teorema do Núcleo e Imagem (rank-nullity),
\dim(\ker T_1)+\dim(\operatorname{Im} T_1)=4,
então \dim(\ker T_1)=1. De fato \ker T_1=\operatorname{span}\{(0,0,0,1)\}.]
Passo 4
Exemplo com colunas dependentes não triviais (mesma ideia, mas não alinhado com as coordenadas)
Definimos T_2:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4} cujas colunas são \mathbf{c}_1=(1,0,0,0)^\top, \mathbf{c}_2=(0,1,0,0)^\top, \mathbf{c}_3=(0,0,1,0)^\top e \mathbf{c}_4=\mathbf{c}_1+\mathbf{c}_2+\mathbf{c}_3.
A matriz associada A_2 é
As três primeiras colunas são independentes (são \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3).
A quarta coluna é soma das três primeiras, logo não adiciona independência.
Portanto \dim\big(T_2(\mathbb{R}^4)\big)=3.
Cálculo do núcleo de forma explícita: procuramos x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^\top tal que A_2 x=0. Escrevendo em termos de colunas,
Pela independência de \mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\mathbf{c}_3 segue x_1+x_4=0, x_2+x_4=0, x_3+x_4=0. Tomando x_4=t obtemos x=(-t,-t,-t,t)=t(-1,-1,-1,1). Assim \ker T_2=\operatorname{span}\{(-1,-1,-1,1)\}, de dimensão 1, consistente com rank 3.]
Passo 5
Como construir em geral (dicas práticas para a prova):
Escolha três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^4: v_1,v_2,v_3.
Defina as três primeiras colunas da matriz como v_1,v_2,v_3.
Faça a quarta coluna ser qualquer combinação linear de v_1,v_2,v_3 (por exemplo v_1+v_2+v_3).
Isso garante que o posto da matriz seja 3. Para verificar rápido na prova, olhe as colunas: se você encontrar três colunas que não podem ser obtidas linearmente umas das outras, e a quarta for combinação delas, então o posto é 3.
Passo 6
Resumo rápido do que verificamos e incentivo:
Mostrei dois exemplos concretos de T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4 com \dim(\operatorname{Im}T)=3 e expliquei como checar o posto e o núcleo.
Na prova, se pedirem apenas um exemplo, o primeiro (projeção sobre as três primeiras coordenadas) é o mais simples de escrever e justificar. Se quiserem um exemplo não-trivial, o segundo serve bem.
Força aí — você já tem o esquema prático para criar e verificar outros exemplos na hora!