Exercício 2. Dê exemplos de transformações lineares
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, tal que T\left(\mathbb{R}^{3}\right)=[(2,1,1),(1,-1,2)].

Passo 1

O que o enunciado pede: “Dê exemplos de transformações lineares T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tais que T\left(\mathbb{R}^{3}\right)=[(2,1,1),(1,-1,2)].”\n
Informações fornecidas:
  • O domínio é \mathbb{R}^{3} e o contradomínio também é \mathbb{R}^{3}.\n
  • A imagem desejada é o subespaço gerado pelos vetores (2,1,1) e (1,-1,2); em notação, W=\operatorname{span}\{(2,1,1),(1,-1,2)\}.\n
  • Precisamos apresentar transformações lineares (pelo menos uma, mas o enunciado pede “exemplos”, então vou dar várias) cuja imagem seja exatamente W.\n

Passo 2

Ideia-chave (sem resolver ainda): uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é completamente determinada pelas imagens dos vetores da base padrão \,e_1=(1,0,0),\,e_2=(0,1,0),\,e_3=(0,0,1)\,. Se colocarmos as imagens como colunas de uma matriz A, então T(x)=Ax e a imagem T(\mathbb{R}^3) é o espaço gerado pelas colunas de A.\n
Logo, para garantir T(\mathbb{R}^3)=W basta escolher as colunas de A como vetores pertencentes a W e de modo que as colunas gerem exatamente W.\n

Passo 3

Primeira verificação importante: (2,1,1)\) e \((1,-1,2)\) são linearmente independentes? Se sim, então \(W\) tem dimensão \(2\) e qualquer conjunto de colunas que contenha dois vetores linearmente independentes de \(W\) gera \(W\).\n Verificação (resolver o sistema para \(\alpha,\beta\) tal que \(\alpha(2,1,1)+\beta(1,-1,2)=(0,0,0)\)):\n \[\begin{cases} 2\alpha+\beta=0,\\[4pt] \alpha-\beta=0,\\[4pt] \alpha+2\beta=0. \end{cases}\n
Da segunda equação \alpha=\beta\]. Substituindo na primeira: \(2\beta+\beta=3\beta=0\Rightarrow\beta=0. Então \alpha=0. Portanto só a combinação trivial anula o vetor, logo são linearmente independentes. Conclusão: \dim W=2.\n]

Passo 4

Construção concreta — Exemplo 1 (escolha óbvia e simples): definir T_1 fazendo\n
T_1(e_1)=(2,1,1),\qquad T_1(e_2)=(1,-1,2),\qquad T_1(e_3)=(0,0,0).\n
Matriz associada (colunas = imagens de e_1,e_2,e_3):\n
A_1=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] 1 & -1 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.\n
Por construção T_1(x)=A_1x é linear. A imagem T_1(\mathbb{R}^3) é o espaço gerado pelas colunas de A_1, isto é \operatorname{span}\{(2,1,1),(1,-1,2),(0,0,0)\}=\operatorname{span}\{(2,1,1),(1,-1,2)\}=W. Assim T_1 satisfaz o pedido.\n]

Passo 5

Construção — Exemplo 2 (mudar ordem/posição do vetor zero): definir T_2 fazendo\n
T_2(e_1)=(2,1,1),\qquad T_2(e_2)=(0,0,0),\qquad T_2(e_3)=(1,-1,2).\n
Matriz associada:\n
A_2=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 & -1\\[4pt] 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.\n
Novamente T_2 é linear e as colunas de A_2 são vetores de W que geram W (porque as colunas incluem (2,1,1) e (1,-1,2)). Logo T_2(\mathbb{R}^3)=W.\n]

Passo 6

Construção — Exemplo 3 (usar combinações lineares como colunas, para mostrar variedade): escolha colunas que estejam em W mas não sejam exatamente os geradores originais, por exemplo\n
T_3(e_1)=(2,1,1)+(1,-1,2)=(3,0,3),\qquad T_3(e_2)=(1,-1,2),\qquad T_3(e_3)=(2,1,1).\n
Matriz associada:\n
A_3=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 2\\[4pt] 0 & -1 & 1\\[4pt] 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.\n
Todas as colunas pertencem a W (porque foram construídas como combinações de (2,1,1) e (1,-1,2)). Para ver que as colunas geram W, note que a segunda coluna já é (1,-1,2) e a terceira é (2,1,1); portanto \operatorname{span}\{\text{colunas de }A_3\} contém (1,-1,2) e (2,1,1), então contém W; como as colunas estão em W, a imagem é exatamente W. Assim T_3(\mathbb{R}^3)=W.\n]

Passo 7

Observação geral e método para a prova: qualquer transformação linear T dada por uma matriz A cujas colunas são vetores de W e tais que pelo menos duas colunas sejam linearmente independentes (ou, mais precisamente, as colunas gerem W) terá T(\mathbb{R}^3)=W. Isso gera infinitos exemplos — eu dei três construções explícitas e verifiquei a imagem em cada caso.\n

Resposta

T_1:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\;T_1(x)=A_1x, A_1=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0\\[4pt]1 & -1 & 0\\[4pt]1 & 2 & 0\end{pmatrix}
T_2:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\;T_2(x)=A_2x, A_2=\begin{pmatrix}2 & 0 & 1\\[4pt]1 & 0 & -1\\[4pt]1 & 0 & 2\end{pmatrix}
T_3:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\;T_3(x)=A_3x, A_3=\begin{pmatrix}3 & 1 & 2\\[4pt]0 & -1 & 1\\[4pt]3 & 2 & 1\end{pmatrix}]

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