Exercício 2. Dê exemplos de transformações lineares T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, tal que T\left(\mathbb{R}^{3}\right)=[(2,1,1),(1,-1,2)].
Passo 1
O que o enunciado pede: “Dê exemplos de transformações lineares T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tais que T\left(\mathbb{R}^{3}\right)=[(2,1,1),(1,-1,2)].”\n
Informações fornecidas:
O domínio é \mathbb{R}^{3} e o contradomínio também é \mathbb{R}^{3}.\n
A imagem desejada é o subespaço gerado pelos vetores (2,1,1) e (1,-1,2); em notação, W=\operatorname{span}\{(2,1,1),(1,-1,2)\}.\n
Precisamos apresentar transformações lineares (pelo menos uma, mas o enunciado pede “exemplos”, então vou dar várias) cuja imagem seja exatamente W.\n
Passo 2
Ideia-chave (sem resolver ainda): uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é completamente determinada pelas imagens dos vetores da base padrão \,e_1=(1,0,0),\,e_2=(0,1,0),\,e_3=(0,0,1)\,. Se colocarmos as imagens como colunas de uma matriz A, então T(x)=Ax e a imagem T(\mathbb{R}^3) é o espaço gerado pelas colunas de A.\n
Logo, para garantir T(\mathbb{R}^3)=W basta escolher as colunas de A como vetores pertencentes a W e de modo que as colunas gerem exatamente W.\n
Passo 3
Primeira verificação importante: (2,1,1)\) e \((1,-1,2)\) são linearmente independentes? Se sim, então \(W\) tem dimensão \(2\) e qualquer conjunto de colunas que contenha dois vetores linearmente independentes de \(W\) gera \(W\).\n
Verificação (resolver o sistema para \(\alpha,\beta\) tal que \(\alpha(2,1,1)+\beta(1,-1,2)=(0,0,0)\)):\n
\[\begin{cases} 2\alpha+\beta=0,\\[4pt] \alpha-\beta=0,\\[4pt] \alpha+2\beta=0. \end{cases}\n
Da segunda equação \alpha=\beta\]. Substituindo na primeira: \(2\beta+\beta=3\beta=0\Rightarrow\beta=0. Então \alpha=0. Portanto só a combinação trivial anula o vetor, logo são linearmente independentes. Conclusão: \dim W=2.\n]
Passo 4
Construção concreta — Exemplo 1 (escolha óbvia e simples): definir T_1 fazendo\n
Por construção T_1(x)=A_1x é linear. A imagem T_1(\mathbb{R}^3) é o espaço gerado pelas colunas de A_1, isto é \operatorname{span}\{(2,1,1),(1,-1,2),(0,0,0)\}=\operatorname{span}\{(2,1,1),(1,-1,2)\}=W. Assim T_1 satisfaz o pedido.\n]
Passo 5
Construção — Exemplo 2 (mudar ordem/posição do vetor zero): definir T_2 fazendo\n
Novamente T_2 é linear e as colunas de A_2 são vetores de W que geram W (porque as colunas incluem (2,1,1) e (1,-1,2)). Logo T_2(\mathbb{R}^3)=W.\n]
Passo 6
Construção — Exemplo 3 (usar combinações lineares como colunas, para mostrar variedade): escolha colunas que estejam em W mas não sejam exatamente os geradores originais, por exemplo\n
Todas as colunas pertencem a W (porque foram construídas como combinações de (2,1,1) e (1,-1,2)). Para ver que as colunas geram W, note que a segunda coluna já é (1,-1,2) e a terceira é (2,1,1); portanto \operatorname{span}\{\text{colunas de }A_3\} contém (1,-1,2) e (2,1,1), então contém W; como as colunas estão em W, a imagem é exatamente W. Assim T_3(\mathbb{R}^3)=W.\n]
Passo 7
Observação geral e método para a prova: qualquer transformação linear T dada por uma matriz A cujas colunas são vetores de W e tais que pelo menos duas colunas sejam linearmente independentes (ou, mais precisamente, as colunas gerem W) terá T(\mathbb{R}^3)=W. Isso gera infinitos exemplos — eu dei três construções explícitas e verifiquei a imagem em cada caso.\n