1. Determine o número de arestas e o número de vértices de um icosaedro regular, sabendo que todas as faces do icosaedro são triangulares.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Temos um icosaedro regular.
  • Todas as faces do icosaedro são triangulares.
Do próprio nome “icosaedro” sabemos que o poliedro tem 20 faces (o prefixo “icosa-” significa 20). Portanto, podemos anotar imediatamente:
F = 20,
onde F é o número de faces.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de Euler para poliedros convexos, que é uma ferramenta básica e muito poderosa. A fórmula de Euler diz:
V - E + F = 2,
onde
  • V é o número de vértices,
  • E é o número de arestas,
  • F é o número de faces.
Essa fórmula vale para qualquer poliedro convexo conectado (uma ideia intuitiva: transforma-se o poliedro num grafo planar e conta-se vértices, arestas e faces).

Passo 3

Agora vamos relacionar faces e arestas usando o fato de que todas as faces são triângulos. Cada face triangular tem exatamente 3 arestas. Se eu contar todas as arestas “por face”, obtenho 3F incidências aresta-face. Mas cada aresta pertence a exatamente duas faces (uma de cada lado), então cada aresta foi contada duas vezes nessa contagem. Logo:
3F = 2E.
Isolando E, obtemos:
E = \frac{3F}{2}.
Aqui E é o número de arestas e F o número de faces; essa é uma relação geral quando todas as faces são triangulares.

Passo 4

Substituímos F=20 na fórmula anterior para encontrar E:
E = \frac{3\cdot 20}{2}.
Fazendo a conta passo a passo:
3\cdot 20 = 60,
\frac{60}{2} = 30.
Portanto:
E = 30.

Passo 5

Usamos agora a fórmula de Euler para obter V. Da fórmula V - E + F = 2 isolamos V:
V = 2 + E - F.
Substituindo E=30 e F=20:
V = 2 + 30 - 20.
Fazendo as contas:
2 + 30 = 32,
32 - 20 = 12.
Logo:
V = 12.

Passo 6

Fazemos um cheque de sanidade que também serve como pequena aula extra: a soma das incidências face-vértice é 3F (cada face contribui com 3 vértices, contando multiplicidades). Essa soma também é igual a dV, onde d é o número de faces que se encontram em cada vértice (para o icosaedro regular esse d é constante). Então dV = 3F. Com F=20 e V=12 temos
d = \frac{3F}{V} = \frac{3\cdot 20}{12} = 5,
ou seja, em cada vértice se encontram 5 faces (ou 5 arestas) — é coerente com o icosaedro regular conhecido. Isso confirma que os números encontrados fazem sentido.

Resposta

Número de arestas: 30
Número de vértices: 12

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