- Determine o número de arestas e o número de vértices de um icosaedro regular, sabendo que todas as faces do icosaedro são triangulares.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Temos um icosaedro regular.
- Todas as faces do icosaedro são triangulares.
Do próprio nome “icosaedro” sabemos que o poliedro tem
faces (o prefixo “icosa-” significa
). Portanto, podemos anotar imediatamente:
onde
é o número de faces.
Passo 2
Vamos usar a fórmula de Euler para poliedros convexos, que é uma ferramenta básica e muito poderosa. A fórmula de Euler diz:
onde
-
é o número de vértices, -
é o número de arestas, -
é o número de faces.
Essa fórmula vale para qualquer poliedro convexo conectado (uma ideia intuitiva: transforma-se o poliedro num grafo planar e conta-se vértices, arestas e faces).
Passo 3
Agora vamos relacionar faces e arestas usando o fato de que todas as faces são triângulos. Cada face triangular tem exatamente
arestas. Se eu contar todas as arestas “por face”, obtenho
incidências aresta-face. Mas cada aresta pertence a exatamente duas faces (uma de cada lado), então cada aresta foi contada duas vezes nessa contagem. Logo:
Isolando
, obtemos:
Aqui
é o número de arestas e
o número de faces; essa é uma relação geral quando todas as faces são triangulares.
Passo 4
Substituímos
na fórmula anterior para encontrar
:
Fazendo a conta passo a passo:
Portanto:
Passo 5
Usamos agora a fórmula de Euler para obter
. Da fórmula
isolamos
:
Substituindo
e
:
Fazendo as contas:
Logo:
Passo 6
Fazemos um cheque de sanidade que também serve como pequena aula extra: a soma das incidências face-vértice é
(cada face contribui com 3 vértices, contando multiplicidades). Essa soma também é igual a
, onde
é o número de faces que se encontram em cada vértice (para o icosaedro regular esse
é constante). Então
. Com
e
temos
ou seja, em cada vértice se encontram
faces (ou
arestas) — é coerente com o icosaedro regular conhecido. Isso confirma que os números encontrados fazem sentido.
Resposta
Número de arestas:
Número de vértices:
Número de vértices: