1. Determine o número de faces de um poliedro convexo e fechado, sabendo que o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades.

Passo 1

Enunciado reescrito e dados importantes: temos um poliedro convexo e fechado. Denotando por V o número de vértices, por E o número de arestas e por F o número de faces, o enunciado informa que o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Ou seja,
E - V = 6.
A pergunta do problema é: determinar o número de faces F.

Passo 2

Fórmula fundamental que vamos usar (enunciada sem demonstração formal, mas com verificação por exemplos): para qualquer poliedro convexo e fechado vale a relação de Euler
V - E + F = 2.
Aqui V é o número de vértices, E o número de arestas e F o número de faces. Essa fórmula é clássica e pode ser entendida pensando-se no poliedro como um grafo planar sobre a esfera; ela é verificada em exemplos simples:
  • Tetraedro: V=4, E=6, F=4. Então 4-6+4=2.
  • Cubo: V=8, E=12, F=6. Então 8-12+6=2.
    Esses exemplos ajudam a aceitar a validade da fórmula e a aprender a usá-la na prova.

Passo 3

Usar a informação dada para escrever E em função de V. Da hipótese E - V = 6 obtemos
E = V + 6.

Passo 4

Substituir E na fórmula de Euler e resolver para F. Começando de
V - E + F = 2,
fazemos a substituição E = V+6:
V - (V+6) + F = 2.
Agora simplificamos passo a passo:
V - V - 6 + F = 2,
-6 + F = 2.
Isolando F,
F = 2 + 6,
F = 8.

Passo 5

Verificação por exemplo concreto: o octaedro regular tem V=6, E=12, F=8. Aqui E - V = 12 - 6 = 6, que satisfaz a condição do enunciado, e a fórmula de Euler dá 6-12+8=2. Isso confirma que a resposta encontrada é consistente com um poliedro real (o octaedro).

Resposta

8

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