- Determine o número de faces de um poliedro convexo e fechado, sabendo que o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades.
Passo 1
Enunciado reescrito e dados importantes: temos um poliedro convexo e fechado. Denotando por
o número de vértices, por
o número de arestas e por
o número de faces, o enunciado informa que o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Ou seja,
A pergunta do problema é: determinar o número de faces
.
Passo 2
Fórmula fundamental que vamos usar (enunciada sem demonstração formal, mas com verificação por exemplos): para qualquer poliedro convexo e fechado vale a relação de Euler
Aqui
é o número de vértices,
o número de arestas e
o número de faces. Essa fórmula é clássica e pode ser entendida pensando-se no poliedro como um grafo planar sobre a esfera; ela é verificada em exemplos simples:
- Tetraedro:
, , . Então . - Cubo:
, , . Então .
Esses exemplos ajudam a aceitar a validade da fórmula e a aprender a usá-la na prova.
Passo 3
Usar a informação dada para escrever
em função de
. Da hipótese
obtemos
Passo 4
Substituir
na fórmula de Euler e resolver para
. Começando de
fazemos a substituição
:
Agora simplificamos passo a passo:
Isolando
,
Passo 5
Verificação por exemplo concreto: o octaedro regular tem
,
,
. Aqui
, que satisfaz a condição do enunciado, e a fórmula de Euler dá
. Isso confirma que a resposta encontrada é consistente com um poliedro real (o octaedro).