Determine o número complexo z tal que (-2,8)+z=(2,0) cdot z

Passo 1

Vamos resolver um problema envolvendo números complexos. O enunciado nos pede para encontrar o número complexo $ z $ que satisfaz a equação $ (-2,8) + z = (2,0) \cdot z $. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com números complexos e como igualar suas partes reais e imaginárias.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever os números complexos na forma padrão $ a + bi $, onde $ a $ é a parte real e $ b $ é a parte imaginária. Assim, temos:
a + bi

Passo 3

Vamos supor que $ z $ seja um número complexo na forma $ x + yi $, onde $ x $ e $ y $ são números reais que precisamos encontrar. Substituindo na equação:
z

Passo 4

Agora, vamos simplificar o lado esquerdo da equação combinando as partes reais e imaginárias:
(-2 + x) + (8 + y)i = 2x + 2yi

Passo 5

Para que dois números complexos sejam iguais, suas partes reais e imaginárias devem ser iguais separadamente. Assim, temos duas equações:
-2 + x = 2x
8 + y = 2y

Passo 6

Vamos resolver a primeira equação para $ x $:
x
Agora, resolvendo a segunda equação para $ y $:
-2 + x = 2x implies -2 = x

Resposta

Portanto, o número complexo $ z $ que satisfaz a equação dada é:
z

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