Determine o real
para que o número
seja real
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o valor real de $ x $ para que o número complexo $ z = 2 + (x - 4i) \cdot (2 + xi) $ seja um número real. Isso envolve trabalhar com números complexos, que têm partes reais e imaginárias. Vamos precisar multiplicar as expressões e garantir que a parte imaginária de $ z $ seja zero para que ele seja realmente um número real.
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar as duas expressões dentro do parêntese:
Para multiplicar dois números complexos, usamos a distribuição (ou a regra do produto):
Simplificando cada termo:
Lembrando que $ i^2 = -1 $, substituímos:
Agora, somamos os termos semelhantes:
Passo 3
Agora, voltamos ao número $ z $:
Vamos separar as partes reais e imaginárias:
Passo 4
Para que $ z $ seja um número real, a parte imaginária precisa ser igual a zero. Então, vamos igualar a parte imaginária a zero:
Resolvendo para $ x $:
Resposta
Os valores reais de $ x $ que tornam $ z $ um número real são $ x = 2\sqrt{2} $ e $ x = -2\sqrt{2} $.