Determine o real x para que o número z=2+(x-4 i) cdot(2+x i) seja real

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o valor real de $ x $ para que o número complexo $ z = 2 + (x - 4i) \cdot (2 + xi) $ seja um número real. Isso envolve trabalhar com números complexos, que têm partes reais e imaginárias. Vamos precisar multiplicar as expressões e garantir que a parte imaginária de $ z $ seja zero para que ele seja realmente um número real.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar as duas expressões dentro do parêntese:
(x - 4i) cdot (2 + xi)
Para multiplicar dois números complexos, usamos a distribuição (ou a regra do produto):
= x cdot 2 + x cdot xi - 4i cdot 2 - 4i cdot xi
Simplificando cada termo:
= 2x + x^2i - 8i - 4x i^2
Lembrando que $ i^2 = -1 $, substituímos:
i^2 = -1
= 2x + x^2i - 8i - 4x(-1)
Agora, somamos os termos semelhantes:
= 2x + x^2i - 8i + 4x
= (2x + 4x) + (x^2i - 8i)

Passo 3

Agora, voltamos ao número $ z $:
z
Vamos separar as partes reais e imaginárias:
z = 2 + (6x + (x^2 - 8)i)

Passo 4

Para que $ z $ seja um número real, a parte imaginária precisa ser igual a zero. Então, vamos igualar a parte imaginária a zero:
z
Resolvendo para $ x $:
x^2 - 8 = 0
x
x^2 = 8

Resposta

Os valores reais de $ x $ que tornam $ z $ um número real são $ x = 2\sqrt{2} $ e $ x = -2\sqrt{2} $.

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