Esboce a região de integração e em seguida calcule a integral dupla.
(f) onde é região delimitada pelas curvas e .
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região limitada pelas curvas , e , e depois calcular a integral dupla . Vamos usar o Teorema de Fubini para escrever a integral como iterada e técnicas básicas de integração, inclusive substituição.
Passo 2
Para esboçar , note que é a curva que liga a , e junto com o eixo e a reta forma uma região abaixo da curva. Assim podemos descrever por
Passo 3
Pela ordem , a integral fica
Passo 4
Primeiro integramos em , tratando como constante:
Passo 5
Restando, temos
integral duplaDy1+x^2,dA =integral0^1x2(1+x^2),dx =12integral0^1x1+x^2,dx
Passo 6
Para I=integral0^1x1+x^2,dx, fazemos u=1+x^2, então du=2x,dx e
I=12integralu=1^21u,du =12[ln u]1^2 =12ln 2
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integral duplaDy1+x^2,dA =12I =12cdot12ln 2 =14ln 2