Esboce a região de integração e em seguida calcule a integral dupla.
(f) integral duplaD y1+x^2 d A onde D é região delimitada pelas curvas y=raizx, y=0 e x=1.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região D limitada pelas curvas y=raizx, y=0 e x=1, e depois calcular a integral dupla integral duplaDy1+x^2,dA. Vamos usar o Teorema de Fubini para escrever a integral como iterada e técnicas básicas de integração, inclusive substituição.

Passo 2

Para esboçar D, note que y=raizx é a curva que liga (0,0) a (1,1), e junto com o eixo y=0 e a reta x=1 forma uma região abaixo da curva. Assim podemos descrever D por
0 <= x <= 1, 0 <= y <= raizx

Passo 3

Pela ordem dydx, a integral fica
integral duplaDy1+x^2,dA =integralx=0^1integraly=0^raizxy1+x^2,dy,dx

Passo 4

Primeiro integramos em y, tratando x como constante:
integral0^raizxy1+x^2,dy =11+x^2integral0^raizxy,dy =11+x^2cdoty^22|0^raizx =11+x^2cdotx2 =x2(1+x^2)

Passo 5

Restando, temos
integral duplaDy1+x^2,dA =integral0^1x2(1+x^2),dx =12integral0^1x1+x^2,dx

Passo 6

Para I=integral0^1x1+x^2,dx, fazemos u=1+x^2, então du=2x,dx e
I=12integralu=1^21u,du =12[ln u]1^2 =12ln 2
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integral duplaDy1+x^2,dA =12I =12cdot12ln 2 =14ln 2

Resposta

14ln 2

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