Um poliédro de 7 vértices tem 5 ângulos tetraédricos e 2 ângulos pentaédricos. Quantas arestas e quantas faces tem o poliedro?

Passo 1

O enunciado dá um poliedro com 7 vértices. Desses 7 vértices, 5 são descritos como “ângulos tetraédricos” e 2 como “ângulos pentaédricos”. A pergunta é: quantas arestas e quantas faces esse poliedro tem?
Informações relevantes listadas explicitamente:
v = 7 (número de vértices).
Existem 5 vértices do tipo “tetraédrico” e 2 vértices do tipo “pentaédrico”.

Passo 2

Interpretação do que significa “ângulo tetraédrico” e “ângulo pentaédrico” (passo necessário para poder calcular).
  • O prefixo “tetra-” significa 4 e “penta-” significa 5. Aqui o enunciado refere-se ao número de faces (ou arestas) que se encontram num vértice: um “ângulo tetraédrico” será um vértice em que se encontram 4 faces (portanto 4 arestas incidentes nesse vértice) e um “ângulo pentaédrico” será um vértice em que se encontram 5 faces (portanto 5 arestas incidentes).
  • Essa interpretação é natural porque em geometria de poliedros costumamos chamar um vértice conforme o número de faces que nele se encontram (por exemplo, “triédrico” seria 3, “tetraédrico” 4, etc.). Vou adotar essa interpretação.

Passo 3

Defino as incógnitas e as fórmulas que vou usar (sem ainda calcular):
  • Seja v o número de vértices, e o número de arestas e f o número de faces do poliedro. O enunciado nos dá v=7.
  • A relação de Euler para poliedros (válida para poliedros usualmente considerados, como os convexos) é
v - e + f = 2.
Vou usar essa relação para ligar v,e,f.
  • Outra relação útil é a soma dos graus dos vértices: se em cada vértice contamos quantas arestas (ou faces) incidem, a soma desses números sobre todos os vértices é igual a 2e. Essa é a versão “mãozinha” (handshaking lemma) aplicada ao grafo das arestas do poliedro:
\sum_{\text{vértices}} (\text{grau do vértice}) = 2e.éé
Explicando rapidamente: cada aresta toca exatamente dois vértices, então ao somar graus estamos contando cada aresta duas vezes.

Passo 4

Calculo explícito da soma dos graus dos vértices usando a interpretação do Passo 2.
  • Temos 5 vértices onde incidem 4 arestas cada um. Contribuição desses vértices para a soma dos graus: 5 \times 4.
  • Temos 2 vértices onde incidem 5 arestas cada um. Contribuição desses vértices: 2 \times 5.
    Somando:
\sum \text{graus} = 5\cdot 4 + 2\cdot 5.

Passo 5

Faço a conta do passo anterior detalhadamente:
Calcule 5\cdot 4 = 20 e 2\cdot 5 = 10. Então
\sum \text{graus} = 20 + 10 = 30.
Pela relação do Passo 3 temos \sum \text{graus} = 2e. Portanto
2e = 30.
Dividindo ambos os lados por 2,
e = 15.

Passo 6

Agora uso a fórmula de Euler para encontrar f. A fórmula é
v - e + f = 2.
Substituo v=7 e e=15:
7 - 15 + f = 2.
Resolvo para f: primeiro 7-15 = -8, então
-8 + f = 2.
Somando 8 aos dois lados,
f = 2 + 8 = 10.

Passo 7

Verificação de consistência e comentário pedagógico (útil na prova):
  • A soma dos graus deu 30, que é par, como esperado, porque sempre vale \sum \text{graus}=2e. Se tivéssemos interpretado “tetraédrico” como 3 faces no vértice a soma seria 5\cdot 3 + 2\cdot 5 = 25, que é ímpar, impossível, sinalizando que essa outra interpretação estaria errada. Portanto a interpretação usada (tetraédrico = 4, pentaédrico = 5) é a correta.
  • Os valores obtidos são inteiros positivos razoáveis: e=15 e f=10, então a solução é consistente com as relações básicas dos poliedros.

Resposta

Arestas: 15
Faces: 10

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