Um poliédro de 7 vértices tem 5 ângulos tetraédricos e 2 ângulos pentaédricos. Quantas arestas e quantas faces tem o poliedro?
Passo 1
O enunciado dá um poliedro com
vértices. Desses
vértices,
são descritos como “ângulos tetraédricos” e
como “ângulos pentaédricos”. A pergunta é: quantas arestas e quantas faces esse poliedro tem?
Informações relevantes listadas explicitamente:
(número de vértices).
Existem vértices do tipo “tetraédrico” e
vértices do tipo “pentaédrico”.
Informações relevantes listadas explicitamente:
Existem
Passo 2
Interpretação do que significa “ângulo tetraédrico” e “ângulo pentaédrico” (passo necessário para poder calcular).
- O prefixo “tetra-” significa
e “penta-” significa . Aqui o enunciado refere-se ao número de faces (ou arestas) que se encontram num vértice: um “ângulo tetraédrico” será um vértice em que se encontram faces (portanto arestas incidentes nesse vértice) e um “ângulo pentaédrico” será um vértice em que se encontram faces (portanto arestas incidentes). - Essa interpretação é natural porque em geometria de poliedros costumamos chamar um vértice conforme o número de faces que nele se encontram (por exemplo, “triédrico” seria 3, “tetraédrico” 4, etc.). Vou adotar essa interpretação.
Passo 3
Defino as incógnitas e as fórmulas que vou usar (sem ainda calcular):
- Seja
o número de vértices, o número de arestas e o número de faces do poliedro. O enunciado nos dá . - A relação de Euler para poliedros (válida para poliedros usualmente considerados, como os convexos) é
Vou usar essa relação para ligar
.
- Outra relação útil é a soma dos graus dos vértices: se em cada vértice contamos quantas arestas (ou faces) incidem, a soma desses números sobre todos os vértices é igual a
. Essa é a versão “mãozinha” (handshaking lemma) aplicada ao grafo das arestas do poliedro:
Explicando rapidamente: cada aresta toca exatamente dois vértices, então ao somar graus estamos contando cada aresta duas vezes.
Passo 4
Calculo explícito da soma dos graus dos vértices usando a interpretação do Passo 2.
- Temos
vértices onde incidem arestas cada um. Contribuição desses vértices para a soma dos graus: . - Temos
vértices onde incidem arestas cada um. Contribuição desses vértices: .
Somando:
Passo 5
Faço a conta do passo anterior detalhadamente:
Calcule e
. Então
Calcule
Pela relação do Passo 3 temos
. Portanto
Dividindo ambos os lados por
,
Passo 6
Agora uso a fórmula de Euler para encontrar
. A fórmula é
Substituo
e
:
Resolvo para
: primeiro
, então
Somando
aos dois lados,
Passo 7
Verificação de consistência e comentário pedagógico (útil na prova):
- A soma dos graus deu
, que é par, como esperado, porque sempre vale . Se tivéssemos interpretado “tetraédrico” como faces no vértice a soma seria , que é ímpar, impossível, sinalizando que essa outra interpretação estaria errada. Portanto a interpretação usada (tetraédrico = 4, pentaédrico = 5) é a correta. - Os valores obtidos são inteiros positivos razoáveis:
e , então a solução é consistente com as relações básicas dos poliedros.
Resposta
Arestas:
Faces:
Faces: