Determine o número inteiro mínimo de anos necessários para que a população atinja: Use \ln 2 \cong 0,69 e \ln 5 \simeq 1,6.
8000 elementos;

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede (assumindo o enunciado padrão de crescimento exponencial contínuo):
  • População inicial: P_0 = 1600 elementos.
  • Modelo de crescimento: crescimento exponencial contínuo com taxa r = 0,2 (ou seja, 20\% ao ano), então a função população é
P(t)=P_0 e^{rt}.
  • Objetivo: determinar o número inteiro mínimo de anos necessários para que P(t) atinja 8000 elementos (ou seja, encontrar o menor inteiro t tal que P(t)\ge 8000).
  • Dica fornecida: usar \ln 2 \cong 0,69 e \ln 5 \simeq 1,6.

Passo 2

Entender a equação que vamos resolver. A condição P(t)=8000 com o modelo exponencial é
8000 = 1600\,e^{0,2t}.
Antes de isolar t, simplificamos o quociente 8000/1600:

Passo 3

Calcular o fator de aumento:
\frac{8000}{1600}=5.
Logo a equação fica
5 = e^{0,2t}.

Passo 4

Aplicar logaritmo natural para isolar t. Lembrando que \ln(e^{x})=x, obtemos
\ln 5 = 0,2\,t.
Então
t = \frac{\ln 5}{0,2}.

Passo 5

Usar o valor aproximado dado para \ln 5. O enunciado nos permite aproximar \ln 5 \simeq 1,6. Substituindo:
t \simeq \frac{1,6}{0,2}.

Passo 6

Fazer a divisão (explicando o cálculo passo a passo): dividir por 0,2 é o mesmo que multiplicar por 5, pois \dfrac{1}{0,2}=5. Portanto
t \simeq 1,6\times 5 = 8.

Passo 7

Interpretar o resultado e transformar em número inteiro mínimo de anos. O valor exato aproximado encontrado é t=8 anos. Como a pergunta pede o número inteiro mínimo de anos necessários para atingir (ou ultrapassar) a população alvo, devemos tomar o menor inteiro maior ou igual a t. Aqui t já é igual a 8, então o número inteiro mínimo é 8 anos.

Resposta

8 anos

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