Encontre a solução do problema de valor inicial
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=0, \quad y(0)=0 \quad y^{\prime}(0)=2

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e as condições iniciais. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede.
  • Equação diferencial: y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+9y=0.
  • Condições iniciais: y(0)=0,\qquad y^{\prime}(0)=2.
  • O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.

Passo 2

Método que vamos usar (descrição didática, sem ainda resolver): para equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes de segunda ordem, procura-se soluções da forma \,y=e^{r x}\,. Substituindo y=e^{r x} na equação obtém-se um polinômio em r chamado equação característica. As raízes dessa equação característica determinam a forma da solução geral.
Vou aplicar isso ao nosso caso: suponha y=e^{r x}. Então
y^{\prime}=r e^{r x},\qquad y^{\prime\prime}=r^{2} e^{r x}.
Substituindo na equação diferencial:
r^{2} e^{r x}-6 r e^{r x}+9 e^{r x}=0.
Como e^{r x}\neq0 para todo x, pode-se dividir por e^{r x} e obter a equação característica:
r^{2}-6r+9=0.

Passo 3

Resolver a equação característica. Calculo o discriminante e as raízes:
\Delta =(-6)^{2}-4\cdot1\cdot9=36-36=0.
Discriminante zero significa que a equação tem uma raiz real dupla. A raiz é
r=\frac{6}{2}=3.
Quando a raiz r tem multiplicidade 2, as duas soluções independentes são e^{r x} e x e^{r x}. Portanto a solução geral da equação diferencial é
y(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}x e^{3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.
(Comentário pedagógico curto: o motivo de aparecer o fator x na segunda solução é que, com multiplicidade, e^{3x} e x e^{3x} são soluções linearmente independentes; isso pode ser verificado substituindo x e^{3x} na equação ou usando redução de ordem.)

Passo 4

Aplicar a condição inicial y(0)=0. Primeiro avalio y(0) usando a solução geral:
y(0)=C_{1}e^{0}+C_{2}\cdot0\cdot e^{0}=C_{1}.
Como y(0)=0 segue que
C_{1}=0.

Passo 5

Com C_{1}=0 a solução reduz para
y(x)=C_{2}x e^{3x}.
Agora preciso usar y^{\prime}(0)=2. Calculo y^{\prime}(x). Usando o produto x\cdot e^{3x} e a regra do produto:
y^{\prime}(x)=C_{2}\bigl(1\cdot e^{3x}+x\cdot 3e^{3x}\bigr)=C_{2}e^{3x}(1+3x).
Avalio em x=0:
y^{\prime}(0)=C_{2}e^{0}(1+0)=C_{2}.
Como y^{\prime}(0)=2 obtemos
C_{2}=2.

Passo 6

Substituindo C_{1}=0 e C_{2}=2 na solução geral, obtemos a solução particular do problema de valor inicial:
y(x)=2x e^{3x}.

Resposta

y(x)=2x e^{3x}

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