Encontre a solução do problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e as condições iniciais. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede.
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
- O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.
Passo 2
Método que vamos usar (descrição didática, sem ainda resolver): para equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes de segunda ordem, procura-se soluções da forma
. Substituindo
na equação obtém-se um polinômio em
chamado equação característica. As raízes dessa equação característica determinam a forma da solução geral.
Vou aplicar isso ao nosso caso: suponha
. Então
Substituindo na equação diferencial:
Como
para todo
, pode-se dividir por
e obter a equação característica:
Passo 3
Resolver a equação característica. Calculo o discriminante e as raízes:
Discriminante zero significa que a equação tem uma raiz real dupla. A raiz é
Quando a raiz
tem multiplicidade
, as duas soluções independentes são
e
. Portanto a solução geral da equação diferencial é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
(Comentário pedagógico curto: o motivo de aparecer o fator
na segunda solução é que, com multiplicidade,
e
são soluções linearmente independentes; isso pode ser verificado substituindo
na equação ou usando redução de ordem.)
Passo 4
Aplicar a condição inicial
. Primeiro avalio
usando a solução geral:
Como
segue que
Passo 5
Com
a solução reduz para
Agora preciso usar
. Calculo
. Usando o produto
e a regra do produto:
Avalio em
:
Como
obtemos
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução particular do problema de valor inicial: