Considerc a seguinte equação diferencial
y^{\prime}=e^{2 x}+y-1
a) Mostre que a equação não é exata.
b) Encontre um fator integrante \mu(x) que torne a equação exata.
c) Resolva a equação.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Mostrar que a equação diferencial
y' = e^{2x} + y - 1
não é exata.
  • (b) Encontrar um fator integrante \mu(x) que dependa só de x e torne a equação exata.
  • (c) Resolver a equação (encontrar a solução geral).
Informações dadas que vamos usar: a equação diferencial explícita \,y' = e^{2x}+y-1. Não há condições iniciais, então queremos a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma diferencial padrão
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.
A partir de \,y' = \dfrac{dy}{dx} = e^{2x}+y-1 reorganizamos:
\frac{dy}{dx} - y - e^{2x} + 1 = 0
multiplicando por dx:
-\,y\,dx - e^{2x}\,dx + 1\,dx + dy = 0.
Portanto tomamos
M(x,y) = -y - e^{2x} + 1,\qquad N(x,y)=1.

Passo 3

Explicando o que é uma equação exata: uma forma diferencial M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M\quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.
Uma condição prática necessária e suficiente (quando M,N têm derivadas contínuas) é
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-y - e^{2x} +1\bigr) = -1,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(1) = 0.
Como -1 \neq 0, a equação NÃO é exata. Isso resolve a parte (a).

Passo 4

Agora buscamos um fator integrante \mu que dependa só de x. A teoria que usamos: se existe \mu=\mu(x) tal que \mu M\,dx + \mu N\,dy é exata, então \mu deve satisfazer
\frac{d}{dx}\bigl(\ln \mu(x)\bigr) = \frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N},
ou seja
\mu(x) = \exp\!\left(\int \frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N}\,dx\right).
Esta fórmula vem de exigir \partial(\mu M)/\partial y = \partial(\mu N)/\partial x e dividir por \mu N, assumindo \mu só em x.
Aplicando ao nosso caso, usamos os valores que calculamos:
\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x} = -1 - 0 = -1, \qquad N=1,
portanto a razão é -1, que depende apenas de x (na verdade é constante). Assim
\mu(x) = \exp\!\left(\int -1\,dx\right) = \exp(-x) = e^{-x}.
Isso responde a parte (b): um fator integrante é \mu(x)=e^{-x}.

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante \mu=e^{-x}. A forma multiplicada é
\bigl(-y - e^{2x} + 1\bigr)e^{-x}\,dx + e^{-x}\,dy = 0.
Chamando
\widetilde{M}(x,y) = -y e^{-x} - e^{x} + e^{-x},\qquad \widetilde{N}(x,y)=e^{-x},
verificamos exatidão:
\frac{\partial \widetilde{M}}{\partial y} = -e^{-x},\qquad \frac{\partial \widetilde{N}}{\partial x} = -e^{-x},
logo \frac{\partial \widetilde{M}}{\partial y}=\frac{\partial \widetilde{N}}{\partial x} e a equação é exata.

Passo 6

Agora resolvemos a equação exata encontrando uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = \widetilde{M}(x,y),\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=\widetilde{N}(x,y).
Integramos \widetilde{M} em x (tratando y como constante):
\Phi(x,y) = \int \bigl(-y e^{-x} - e^{x} + e^{-x}\bigr)\,dx + h(y).
Fazemos as integrais passo a passo:
\int -y e^{-x}\,dx = -y\int e^{-x}\,dx = -y(-e^{-x}) = y e^{-x},
\int -e^{x}\,dx = -e^{x},
\int e^{-x}\,dx = -e^{-x}.
Somando:
\Phi(x,y) = y e^{-x} - e^{x} - e^{-x} + h(y).
Agora usamos a condição \partial \Phi/\partial y = \widetilde{N}=e^{-x}. Calculando
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = e^{-x} + h'(y).
Igualando a e^{-x} obtemos h'(y)=0, então h(y) é constante: h(y)=C.
Portanto a solução implícita é
\Phi(x,y) = y e^{-x} - e^{x} - e^{-x} = C.

Passo 7

Isolando y para obter a solução explícita, multiplicamos ambos os lados por e^{x}:
y - e^{2x} - 1 = C e^{x}.
Logo
y(x) = C e^{x} + e^{2x} + 1,
onde C é constante arbitrária. (Pode-se verificar rapidamente derivando: y' = C e^{x} + 2e^{2x} e substituindo na ODE obtém-se igualdade.)

Resposta

a) A equação não é exata (pois \partial M/\partial y = -1 \neq 0 = \partial N/\partial x).
b) \mu(x)=e^{-x}.
c) y(x)=C e^{x} + e^{2x} + 1, com C constante.

Exercícios relacionados