Considerc a seguinte equação diferencial
a) Mostre que a equação não é exata.
b) Encontre um fator integrante
que torne a equação exata.
c) Resolva a equação.
b) Encontre um fator integrante
c) Resolva a equação.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) Mostrar que a equação diferencial
não é exata.
- (b) Encontrar um fator integrante
que dependa só de e torne a equação exata. - (c) Resolver a equação (encontrar a solução geral).
Informações dadas que vamos usar: a equação diferencial explícita
. Não há condições iniciais, então queremos a solução geral com constante arbitrária.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma diferencial padrão
A partir de
reorganizamos:
multiplicando por
:
Portanto tomamos
Passo 3
Explicando o que é uma equação exata: uma forma diferencial
é exata se existe uma função potencial
tal que
Uma condição prática necessária e suficiente (quando
têm derivadas contínuas) é
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação NÃO é exata. Isso resolve a parte (a).
Passo 4
Agora buscamos um fator integrante
que dependa só de
. A teoria que usamos: se existe
tal que
é exata, então
deve satisfazer
ou seja
Esta fórmula vem de exigir
e dividir por
, assumindo
só em
.
Aplicando ao nosso caso, usamos os valores que calculamos:
portanto a razão é
, que depende apenas de
(na verdade é constante). Assim
Isso responde a parte (b): um fator integrante é
.
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
. A forma multiplicada é
Chamando
verificamos exatidão:
logo
e a equação é exata.
Passo 6
Agora resolvemos a equação exata encontrando uma função potencial
tal que
Integramos
em
(tratando
como constante):
Fazemos as integrais passo a passo:
Somando:
Agora usamos a condição
. Calculando
Igualando a
obtemos
, então
é constante:
.
Portanto a solução implícita é
Passo 7
Isolando
para obter a solução explícita, multiplicamos ambos os lados por
:
Logo
onde
é constante arbitrária. (Pode-se verificar rapidamente derivando:
e substituindo na ODE obtém-se igualdade.)
Resposta
a) A equação não é exata (pois
).
b) .
c) , com
constante.
b)
c)