Determine o número de onda k a 500 kHz para um meio material no qual \mu_{\mathrm{r}}=1, \varepsilon_{\mathrm{r}}=15, \sigma=0. A que velocidade de fase uma onda eletromagnética se deslocará nesse meio material?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o número de onda k para uma onda eletromagnética com frequência 500\\ \mathrm{kHz} num meio com os parâmetros dados.
  • Determinar a velocidade de fase dessa onda no mesmo meio.
Informações fornecidas (dados do enunciado):
  • f = 500\\ \mathrm{kHz}.
  • \mu_{\mathrm{r}} = 1.
  • \varepsilon_{\mathrm{r}} = 15.
  • \sigma = 0 (meio livre de condutividade, ou seja, dielétrico ideal).
  • Podemos usar a velocidade da luz no vácuo aproximada como c \approx 3\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Definições e fórmulas essenciais (aula rápida para entender e usar na prova):
  • A frequência \;f\; e a pulsação (ou frequência angular) \omega estão relacionadas por
\omega = 2\pi f.
Aqui \omega tem unidades de \mathrm{rad/s}, f de \mathrm{Hz}.
  • O número de onda k em um meio homogêneo, não condutor ( \sigma=0), é dado por
k = \omega\sqrt{\mu\varepsilon}
onde \mu é a permeabilidade do meio e \varepsilon a permissividade do meio.
  • Podemos escrever \mu = \mu_{0}\mu_{\mathrm{r}} e \varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{\mathrm{r}}, portanto
k = \omega\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}\sqrt{\mu_{\mathrm{r}}\varepsilon_{\mathrm{r}}}.
  • A constante \sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}} é igual a 1/c, então uma forma prática é
k = \frac{\omega}{c}\sqrt{\mu_{\mathrm{r}}\varepsilon_{\mathrm{r}}}.
  • A velocidade de fase v_{\mathrm{p}} relaciona-se com k e \omega por
v_{\mathrm{p}}=\frac{\omega}{k}.
Para meios não condutores isso também dá
v_{\mathrm{p}}=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}=\frac{c}{\sqrt{\mu_{\mathrm{r}}\varepsilon_{\mathrm{r}}}}.
Explicação rápida do que cada símbolo significa:
  • \omega: pulsação (rad/s).
  • f: frequência (Hz).
  • k: número de onda (rad/m), mede quantas fases por metro.
  • \mu_{0}, \varepsilon_{0}: permeabilidade e permissividade do vácuo.
  • \mu_{\mathrm{r}}, \varepsilon_{\mathrm{r}}: fatores relativos do meio.
  • c: velocidade da luz no vácuo.

Passo 3

Calcular a pulsação \omega:
Usando \omega = 2\pi f e f = 500\\ \mathrm{kHz} = 5\times 10^{5}\\ \mathrm{Hz},
\omega = 2\pi \cdot 5\times 10^{5} = 1{,}0\times 10^{6}\pi\\ \mathrm{rad/s}.
(ou numericamente \omega \approx 3{,}1416\times 10^{6}\\ \mathrm{rad/s}.)

Passo 4

Calcular o número de onda de vácuo k_{0}=\omega/c (etapa intermediária útil):
Usando c \approx 3\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s},
k_{0}=\frac{\omega}{c}=\frac{1{,}0\times 10^{6}\pi}{3\times 10^{8}}=\frac{\pi}{300}\\ \mathrm{rad/m}.
Numericamente,
k_{0}\approx \frac{3{,}1416}{300}\approx 0{,}010472\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 5

Incorporar as propriedades do meio: \sqrt{\mu_{\mathrm{r}}\varepsilon_{\mathrm{r}}}.
Como \mu_{\mathrm{r}}=1 e \varepsilon_{\mathrm{r}}=15,
\sqrt{\mu_{\mathrm{r}}\varepsilon_{\mathrm{r}}}=\sqrt{15}.
Uma estimativa prática: \sqrt{16}=4, logo \sqrt{15} fica um pouco abaixo de 4; valor aproximado
\sqrt{15}\approx 3{,}87298.

Passo 6

Calcular o número de onda k no meio:
Usando \;k = k_{0}\sqrt{\mu_{\mathrm{r}}\varepsilon_{\mathrm{r}}}\;,
k \approx 0{,}010472\cdot 3{,}87298 \\ \mathrm{rad/m}.
Fazendo a multiplicação (mostro de forma manual aproximada: 0{,}010472\times 3{,}873 \approx 0{,}04055),
k \approx 0{,}04055\\ \mathrm{rad/m}.
Interpretação: isso significa que a cada metro a fase da onda varia cerca de 0{,}04055 radianos — o comprimento de onda no meio é grande porque a frequência é baixa e o meio aumenta um pouco o índice ( \sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}} ).

Passo 7

Calcular a velocidade de fase v_{\mathrm{p}}:
Usando a fórmula prática para meios não condutores,
v_{\mathrm{p}}=\frac{c}{\sqrt{\mu_{\mathrm{r}}\varepsilon_{\mathrm{r}}}}.
Como já temos \sqrt{\mu_{\mathrm{r}}\varepsilon_{\mathrm{r}}}\approx 3{,}87298 e c\approx 3\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s},
v_{\mathrm{p}}\approx \frac{3\times 10^{8}}{3{,}87298}\\ \mathrm{m/s}\approx 7{,}746\times 10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
Verificação rápida com relação v_{\mathrm{p}}=\omega/k: usando \omega\approx 3{,}1416\times 10^{6} e k\approx 0{,}04055,
\frac{\omega}{k}\approx \frac{3{,}1416\times 10^{6}}{0{,}04055}\approx 7{,}746\times 10^{7}\\ \mathrm{m/s},
coerente com o resultado acima.

Resposta

k \approx 0{,}04055\\ \mathrm{rad/m}
v_{\mathrm{p}} \approx 7{,}746\times 10^{7}\\ \mathrm{m/s}

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