Uma onda eletromagnética no espaço livre tem um comprimento de onda de 20 cm . Quando essa mesma onda entra em um dielétrico perfeito, o comprimento de onda muda para 9 cm . Supondo que \mu_{\mathrm{r}}=1, determine \varepsilon_{\mathrm{r}} e a velocidade de fase da onda no dielétrico.

Passo 1

O enunciado dá uma onda eletromagnética com comprimento de onda no espaço livre e no dielétrico, e pede duas coisas. Informações dadas:
\lambda_0=20\\ \mathrm{cm}=0,20\\ \mathrm{m}
\lambda=9\\ \mathrm{cm}=0,09\\ \mathrm{m}
\mu_{\mathrm{r}}=1
Perguntas: determinar \varepsilon_{\mathrm{r}} e a velocidade de fase da onda no dielétrico (em \mathrm{m/s}).

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): a frequência f de uma onda eletromagnética não muda ao passar do espaço livre para um meio diferente — o que muda são a velocidade de fase v e o comprimento de onda \lambda. A relação fundamental entre velocidade, frequência e comprimento de onda é
v=f\lambda.
No espaço livre essa velocidade é a velocidade da luz c, logo
c=f\lambda_0\quad\Rightarrow\quad f=\frac{c}{\lambda_0}.
No dielétrico temos
v=f\lambda=\frac{c}{\lambda_0}\,\lambda = c\frac{\lambda}{\lambda_0}.
Outra grandeza útil é o índice de refração n, definido por
n=\frac{c}{v}.
Combinando as expressões acima obtemos a relação simples entre comprimentos de onda:
n=\frac{\lambda_0}{\lambda}.

Passo 3

Relação entre índice de refração e as propriedades do meio (fórmula e significado):
n=\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}\mu_{\mathrm{r}}}
onde \varepsilon_{\mathrm{r}} é a permissividade relativa e \mu_{\mathrm{r}} é a permeabilidade relativa. Aqui foi dado \mu_{\mathrm{r}}=1, então
n=\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}}\quad\Rightarrow\quad \varepsilon_{\mathrm{r}}=n^2.
Portanto podemos calcular \varepsilon_{\mathrm{r}} a partir da razão dos comprimentos de onda.

Passo 4

Cálculo numérico do índice de refração n. Usando os comprimentos de onda dados:
n=\frac{\lambda_0}{\lambda}=\frac{0,20}{0,09}=\frac{20}{9}\approx2,222\ldots
Agora \varepsilon_{\mathrm{r}}=n^2, então
\varepsilon_{\mathrm{r}}=\left(\frac{20}{9}\right)^2=\frac{400}{81}\approx4,9382716\ldots
Arredondando razoavelmente (3 algarismos significativos):
\varepsilon_{\mathrm{r}}\approx4,94.

Passo 5

Cálculo da velocidade de fase v no dielétrico. Podemos usar v=c/n ou v=c\cdot(\lambda/\lambda_0). Usando c\approx3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} e n=\dfrac{20}{9}:
v=\frac{c}{n}=c\frac{\lambda}{\lambda_0}=c\cdot\frac{9}{20}=0,45\,c.
Numericamente:
v=0,45\times 3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}=1,35\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

\varepsilon_{\mathrm{r}}\approx4,94
v\approx1,35\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}

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