Determine o número de permutaçōes de (1,2, ldots, 8) em que os números 4 e 6 não ocupam seus lugares primitivos.

Passo 1

O enunciado pede o número de permutações de (1,2,dots,8) em que o número 4 não fica na posição 4 e o número 6 não fica na posição 6.
O conteúdo aqui é o Princípio da Inclusão-Exclusão aplicado a posições proibidas em permutações.

Passo 2

Definimos os conjuntos
A4 = permutações onde (4) está em sua posição natural, çõáçã
A6 = permutações onde (6) está em sua posição natural çõáçã
Queremos contar as permutações em (A4cup A6)^c, i.e.
|(A4cup A6)^c| = 8! - |A4cup A6|

Passo 3

Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão,
|A4cup A6| = |A4| + |A6| - |A4cap A6|
Agora, ao fixar 4 em sua posição, restam 7 elementos para permutar, logo
|A4| = 7!
Analogamente,
|A6| = 7!
Se fixamos simultaneamente 4 e 6 em seus lugares, restam 6 elementos livres, logo
|A4cap A6| = 6!

Passo 4

Substituindo na fórmula,
|A4cup A6| = 7! + 7! - 6! = 5040 + 5040 - 720 = 9360,
e portanto
|(A4cup A6)^c| = 8! - 9360 = 40320 - 9360 = 30960

Resposta

30960

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