(a) Em que aspectos os teoremas de Fubini e Clairaut sāo semelhantes?
(b) Se f(x, y) c continuo em [a, b] times[c, d] e
g(x, y)=integrala^x integrala^x f(s, t) d t d s
para a<x<b, c<y<d, mostre que gr y=gr x=f(x, y).

Passo 1

O enunciado trata de dois resultados clássicos do cálculo em várias variáveis: o teorema de Fubini, que permite trocar a ordem de integração em integrais duplas, e o teorema de Clairaut, que garante a igualdade das derivadas parciais mistas quando a função é suficientemente regular. Na parte (a) vamos destacar em que pontos esses dois teoremas são semelhantes; na parte (b) aplicaremos o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) duas vezes para mostrar que, se
g(x,y)=integrala^x!integrala^yf(s,t),dt,ds
com f contínua em [a,b]times[c,d], então
partial^2 gpartial x,partial y(x,y) =partial^2 gpartial y,partial x(x,y) = f(x,y)

Passo 2

Em ambos os teoremas (Fubini e Clairaut) exigimos continuidade da função envolvida no domínio considerado (no caso, um retângulo). Essa hipótese de continuidade é essencial para:
  1. garantir que a integral dupla seja bem definida e que as integrais iteradas existam e coincidam (Fubini),
  2. assegurar que as derivadas parciais mistas existam e sejam contínuas, permitindo a troca na ordem de diferenciação (Clairaut).
    Logo, a semelhança principal é que ambos permitem inverter a ordem de uma operação (integração em Fubini, diferenciação em Clairaut) sob a mesma hipótese de continuidade.

Passo 3

Para a parte (b), escrevemos
g(x,y)=integrala^xl[integrala^yf(s,t),dtr]ds
Vamos primeiro obter partial g/partial x usando o TFC na integral externa, onde a variável de integração é s e o limite superior é s=x.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
partial gpartial x(x,y) =integrala^yfl(x,tr),dt,
pois ao derivar em relação a x apenas muda o limite superior da integral em s.

Passo 5

Agora diferenciamos partial g/partial x em relação a y. A expressão é uma integral em t de a até y, então aplicamos de novo o TFC:
partial^2 gpartial y,partial x(x,y) =partialpartial yl[integrala^yf(x,t),dtr] = fl(x,yr)

Passo 6

De modo análogo, começamos trocando a ordem de integração na definição de g:
g(x,y)=integrala^yl[integrala^xf(s,t),dsr]dt
Primeiro derivamos em relação a y, obtendo
partial gpartial y(x,y) =integrala^xfl(s,yr),ds,
e então derivamos esse resultado em relação a x, usando o TFC na integral em s:
partial^2 gpartial x,partial y(x,y) = fl(x,yr)

Resposta

partial^2 gpartial y,partial x(x,y) =partial^2 gpartial x,partial y(x,y) = f(x,y)

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