(a) Em que aspectos os teoremas de Fubini e Clairaut sāo semelhantes?
(b) Se
c continuo em
e
para
, mostre que
.
(b) Se
Passo 1
O enunciado trata de dois resultados clássicos do cálculo em várias variáveis: o teorema de Fubini, que permite trocar a ordem de integração em integrais duplas, e o teorema de Clairaut, que garante a igualdade das derivadas parciais mistas quando a função é suficientemente regular. Na parte (a) vamos destacar em que pontos esses dois teoremas são semelhantes; na parte (b) aplicaremos o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) duas vezes para mostrar que, se
com
contínua em
, então
Passo 2
Em ambos os teoremas (Fubini e Clairaut) exigimos continuidade da função envolvida no domínio considerado (no caso, um retângulo). Essa hipótese de continuidade é essencial para:
- garantir que a integral dupla seja bem definida e que as integrais iteradas existam e coincidam (Fubini),
- assegurar que as derivadas parciais mistas existam e sejam contínuas, permitindo a troca na ordem de diferenciação (Clairaut).
Logo, a semelhança principal é que ambos permitem inverter a ordem de uma operação (integração em Fubini, diferenciação em Clairaut) sob a mesma hipótese de continuidade.
Passo 3
Para a parte (b), escrevemos
Vamos primeiro obter
usando o TFC na integral externa, onde a variável de integração é
e o limite superior é
.
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
pois ao derivar em relação a
apenas muda o limite superior da integral em
.
Passo 5
Agora diferenciamos
em relação a
. A expressão é uma integral em
de
até
, então aplicamos de novo o TFC:
Passo 6
De modo análogo, começamos trocando a ordem de integração na definição de
:
Primeiro derivamos em relação a
, obtendo
e então derivamos esse resultado em relação a
, usando o TFC na integral em
: