Determine o número de termos no seguinte somatório duplo:
\sum_{\substack{k=19 \\\ k \neq 50}}^{98} \sum_{\substack{l=51 \\\ l \neq 58 ; 72}}^{118} Z_{k l}

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar o número de termos no somatório duplo”
\sum_{\substack{k=19 \\\ k \neq 50}}^{98} \sum_{\substack{l=51 \\\ l \neq 58 ; 72}}^{118} Z_{kl}.
Informações dadas:
  • O índice k varia de 19 até 98, inclusive, mas com a restrição k \neq 50 (ou seja, o valor 50 é excluído).
  • O índice l varia de 51 até 118, inclusive, mas com as restrições l \neq 58 e l \neq 72 (ou seja, os valores 58 e 72 são excluídos).
  • Cada termo do somatório é um Z_{kl}; queremos contar quantos pares (k,l) válidos existem.

Passo 2

Contar quantos valores de k existem no intervalo de 19 a 98, inclusive. A fórmula para o número de inteiros em um intervalo fechado é
\text{nº de inteiros} = \text{fim} - \text{início} + 1.ºí
Aplicando:
98 - 19 + 1 = 80.
Portanto inicialmente há 80 valores possíveis de k sem considerar exclusões.

Passo 3

Aplicar a exclusão em k: o enunciado exclui k=50, que é um único valor dentro do intervalo. Então subtrai-se 1:
80 - 1 = 79.
Logo, o número de valores permitidos para k é 79.

Passo 4

Contar quantos valores de l existem no intervalo de 51 a 118, inclusive, usando a mesma fórmula:
118 - 51 + 1 = 68.
Portanto inicialmente há 68 valores possíveis de l sem considerar exclusões.

Passo 5

Aplicar as exclusões em l: o enunciado exclui l=58 e l=72, dois valores distintos que estão dentro do intervalo. Subtrai-se 2:
68 - 2 = 66.
Logo, o número de valores permitidos para l é 66.

Passo 6

Agora usar o princípio fundamental da contagem (regra do produto): para cada valor válido de k pode-se combinar com qualquer valor válido de l independentemente, então o número total de pares (k,l) é o produto do número de opções para k pelo número de opções para l. Assim:
79 \times 66 = 5214.

Resposta

5214

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