Determine o número de termos no seguinte somatório duplo:
Passo 1
O enunciado pede: “Determinar o número de termos no somatório duplo”
Informações dadas:
- O índice
varia de até , inclusive, mas com a restrição (ou seja, o valor é excluído). - O índice
varia de até , inclusive, mas com as restrições e (ou seja, os valores e são excluídos). - Cada termo do somatório é um
; queremos contar quantos pares válidos existem.
Passo 2
Contar quantos valores de
existem no intervalo de
a
, inclusive. A fórmula para o número de inteiros em um intervalo fechado é
Aplicando:
Portanto inicialmente há
valores possíveis de
sem considerar exclusões.
Passo 3
Aplicar a exclusão em
: o enunciado exclui
, que é um único valor dentro do intervalo. Então subtrai-se
:
Logo, o número de valores permitidos para
é
.
Passo 4
Contar quantos valores de
existem no intervalo de
a
, inclusive, usando a mesma fórmula:
Portanto inicialmente há
valores possíveis de
sem considerar exclusões.
Passo 5
Aplicar as exclusões em
: o enunciado exclui
e
, dois valores distintos que estão dentro do intervalo. Subtrai-se
:
Logo, o número de valores permitidos para
é
.
Passo 6
Agora usar o princípio fundamental da contagem (regra do produto): para cada valor válido de
pode-se combinar com qualquer valor válido de
independentemente, então o número total de pares
é o produto do número de opções para
pelo número de opções para
. Assim: