(Desafio) Em uma turma de 15 alunos (sendo 9 rapazes e 6 moças), o professor precisa formar uma comissão de 5 alunos para organizar um evento. Quantas comissões diferentes podem ser formadas sabendo que deve haver pelo menos 4 moças na comissão?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A turma tem 15 alunos no total.
  • Desses, há 9 rapazes e 6 moças.
  • O professor vai formar uma comissão de 5 alunos.
  • A condição é que a comissão tenha pelo menos 4 moças.
O que o problema pede:
  • Calcular quantas comissões diferentes (onde a ordem dos membros não importa) podem ser formadas que satisfaçam a condição “pelo menos 4 moças”.

Passo 2

Vamos organizar as possibilidades que atendem a “pelo menos 4 moças”. São dois casos mutuamente exclusivos:
  • Caso A: exatamente 4 moças e 1 rapaz.
  • Caso B: exatamente 5 moças e 0 rapazes.
A resposta final será a soma do número de comissões possíveis em cada caso, porque esses casos não se sobrepõem (princípio da adição em contagem).

Passo 3

Agora uma rápida aula prática sobre como contar seleções sem ordem (combinações).
  • Quando queremos escolher k elementos de um conjunto com n elementos e a ordem não importa, usamos o coeficiente binomial \binom{n}{k}, que se lê “n escolhe k”.
  • A fórmula é:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê-se “n fatorial”) é o produto n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1. Por exemplo, 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24.
  • Intuição simples: \binom{n}{k} conta de quantas formas diferentes se pode formar um grupo de k elementos sem considerar ordem.

Passo 4

Contagem para o Caso A (exatamente 4 moças e 1 rapaz).
  • Número de formas de escolher 4 moças entre as 6 disponíveis:
\binom{6}{4}=\frac{6!}{4!\,2!}.
Calculemos passo a passo:
6!=720,\quad 4!=24,\quad 2!=2,
\binom{6}{4}=\frac{720}{24\cdot2}=\frac{720}{48}=15.
  • Número de formas de escolher 1 rapaz entre os 9:
\binom{9}{1}=\frac{9!}{1!\,8!}=9.
  • Pelo princípio multiplicativo (escolhas independentes: escolher moças e escolher rapaz), o número de comissões no Caso A é
15\times9=135.

Passo 5

Contagem para o Caso B (exatamente 5 moças).
  • Número de formas de escolher 5 moças entre as 6:
\binom{6}{5}=\frac{6!}{5!\,1!}=6.
  • Número de formas de escolher 0 rapazes entre 9 é
\binom{9}{0}=1.
  • Portanto o número de comissões no Caso B é
6\times1=6.

Passo 6

Somamos as duas quantidades (casos exaustivos e disjuntos):
135+6=141.
Dica rápida para a prova: quando o enunciado pede "pelo menos k" normalmente é eficiente dividir em casos "exatamente k", "exatamente k+1", etc., contar cada um com binomiais e somar. Lembre-se sempre de verificar se a soma de casos cobre todas as possibilidades sem sobreposição.

Resposta

141

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