(Desafio) Em uma turma de 15 alunos (sendo 9 rapazes e 6 moças), o professor precisa formar uma comissão de 5 alunos para organizar um evento. Quantas comissões diferentes podem ser formadas sabendo que deve haver pelo menos 4 moças na comissão?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- A turma tem
alunos no total. - Desses, há
rapazes e moças. - O professor vai formar uma comissão de
alunos. - A condição é que a comissão tenha pelo menos
moças.
O que o problema pede:
- Calcular quantas comissões diferentes (onde a ordem dos membros não importa) podem ser formadas que satisfaçam a condição “pelo menos
moças”.
Passo 2
Vamos organizar as possibilidades que atendem a “pelo menos
moças”. São dois casos mutuamente exclusivos:
- Caso A: exatamente
moças e rapaz. - Caso B: exatamente
moças e rapazes.
A resposta final será a soma do número de comissões possíveis em cada caso, porque esses casos não se sobrepõem (princípio da adição em contagem).
Passo 3
Agora uma rápida aula prática sobre como contar seleções sem ordem (combinações).
- Quando queremos escolher
elementos de um conjunto com elementos e a ordem não importa, usamos o coeficiente binomial , que se lê “n escolhe k”. - A fórmula é:
onde
(lê-se “n fatorial”) é o produto
. Por exemplo,
.
- Intuição simples:
conta de quantas formas diferentes se pode formar um grupo de elementos sem considerar ordem.
Passo 4
Contagem para o Caso A (exatamente
moças e
rapaz).
- Número de formas de escolher
moças entre as disponíveis:
Calculemos passo a passo:
- Número de formas de escolher
rapaz entre os :
- Pelo princípio multiplicativo (escolhas independentes: escolher moças e escolher rapaz), o número de comissões no Caso A é
Passo 5
Contagem para o Caso B (exatamente
moças).
- Número de formas de escolher
moças entre as :
- Número de formas de escolher
rapazes entre é
- Portanto o número de comissões no Caso B é
Passo 6
Somamos as duas quantidades (casos exaustivos e disjuntos):
Dica rápida para a prova: quando o enunciado pede "pelo menos
" normalmente é eficiente dividir em casos "exatamente
", "exatamente
", etc., contar cada um com binomiais e somar. Lembre-se sempre de verificar se a soma de casos cobre todas as possibilidades sem sobreposição.