Um hospital possui 8 médicos e 12 enfermeiros. Deseja-se formar uma equipe de plantão composta por exatamente 3 médicos e 4 enfermeiros. Quantas equipes distintas podem ser formadas?

Passo 1

O problema dá as seguintes informações:
  • 8 médicos disponíveis.
  • 12 enfermeiros disponíveis.
  • A equipe de plantão deve ter exatamente 3 médicos e 4 enfermeiros.
A pergunta é: quantas equipes distintas podem ser formadas obedecendo essas condições?

Passo 2

Ideia básica (regra do produto): escolher os médicos e escolher os enfermeiros são decisões independentes — primeiro escolhe-se o subconjunto de médicos e depois o subconjunto de enfermeiros. Quando duas escolhas independentes são feitas, o número total de resultados possíveis é o produto do número de opções de cada escolha. Portanto o número total de equipes será
\text{(nº de maneiras de escolher 3 médicos)} \times \text{(nº de maneiras de escolher 4 enfermeiros)}.ºéº
Agora precisamos calcular cada fator.

Passo 3

Conceito de combinação (escolha sem ordem): quando escolhemos k elementos entre n e a ordem não importa, o número de maneiras é dado pelo coeficiente binomial
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê-se “ n fatorial”) significa n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1. Exemplos rápidos para fixar:
  • 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24.
  • \binom{5}{2}=\dfrac{5\cdot4}{2\cdot1}=10: escolher 2 entre 5 sem se importar com a ordem.

Passo 4

Calcular o número de maneiras de escolher 3 médicos entre 8:
\binom{8}{3}=\frac{8!}{3!\,5!}.
Para facilitar, podemos cancelar fatoriais e escrever apenas o produto necessário:
\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}.
Agora simplificando:
\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1} =\frac{8\cdot7\cdot6}{6} =8\cdot7 =56.
Portanto há 56 maneiras de escolher os 3 médicos.

Passo 5

Calcular o número de maneiras de escolher 4 enfermeiros entre 12:
\binom{12}{4}=\frac{12!}{4!\,8!} =\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Fazendo cancelamentos práticos:
\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{4\cdot3\cdot2\cdot1} = \left(\frac{12}{4}\right)\cdot11\cdot\left(\frac{10}{2}\right)\cdot\left(\frac{9}{3}\right) =3\cdot11\cdot5\cdot3.
Agora multiplicando esses fatores:
3\cdot11=33,\qquad 5\cdot3=15,\qquad 33\cdot15=495.
Logo \binom{12}{4}=495.

Passo 6

Aplicando a regra do produto: o número total de equipes é
\binom{8}{3}\cdot\binom{12}{4}=56\cdot495.
Mostrando um jeito prático de multiplicar sem calculadora:
56\cdot495 = 56\cdot(500-5)=56\cdot500 - 56\cdot5 = 28000 - 280.

Passo 7

Resumo do método que usei (útil para a prova): calcule separadamente as combinações para cada categoria usando \binom{n}{k}, faça simplificações cortando fatores sempre que possível (evita recorrer a fatoriais gigantes), e por fim multiplique os dois resultados. Você consegue — é só fazer calmamente cada passo.

Resposta

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