Um hospital possui 8 médicos e 12 enfermeiros. Deseja-se formar uma equipe de plantão composta por exatamente 3 médicos e 4 enfermeiros. Quantas equipes distintas podem ser formadas?
Passo 1
O problema dá as seguintes informações:
- Há
médicos disponíveis. - Há
enfermeiros disponíveis. - A equipe de plantão deve ter exatamente
médicos e enfermeiros.
A pergunta é: quantas equipes distintas podem ser formadas obedecendo essas condições?
Passo 2
Ideia básica (regra do produto): escolher os médicos e escolher os enfermeiros são decisões independentes — primeiro escolhe-se o subconjunto de médicos e depois o subconjunto de enfermeiros. Quando duas escolhas independentes são feitas, o número total de resultados possíveis é o produto do número de opções de cada escolha. Portanto o número total de equipes será
Agora precisamos calcular cada fator.
Passo 3
Conceito de combinação (escolha sem ordem): quando escolhemos
elementos entre
e a ordem não importa, o número de maneiras é dado pelo coeficiente binomial
onde
(lê-se “
fatorial”) significa
. Exemplos rápidos para fixar:
-
. -
: escolher 2 entre 5 sem se importar com a ordem.
Passo 4
Calcular o número de maneiras de escolher
médicos entre
:
Para facilitar, podemos cancelar fatoriais e escrever apenas o produto necessário:
Agora simplificando:
Portanto há
maneiras de escolher os
médicos.
Passo 5
Calcular o número de maneiras de escolher
enfermeiros entre
:
Fazendo cancelamentos práticos:
Agora multiplicando esses fatores:
Logo
.
Passo 6
Aplicando a regra do produto: o número total de equipes é
Mostrando um jeito prático de multiplicar sem calculadora:
Passo 7
Resumo do método que usei (útil para a prova): calcule separadamente as combinações para cada categoria usando
, faça simplificações cortando fatores sempre que possível (evita recorrer a fatoriais gigantes), e por fim multiplique os dois resultados. Você consegue — é só fazer calmamente cada passo.