Determine o número total \left(\mathrm{em} \mathrm{cm}^{-3}\right) de estados de energia entre E_{c} e E_{c}+2 k T para:
a. Silício \left(m_{n}^{*}=1,08 m_{0}\right): (i) T=300 \mathrm{Ke} (ii) T=400 \mathrm{~K}
Equação g_{c}(E)=\frac{\left(2 m_{n}^{*}\right)^{3 / 2}}{2 \pi^{2} \hbar^{3}} \sqrt{E-E_{c}}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pedido: determinar o número total de estados de energia (por unidade de volume) entre E_{c} e E_{c}+2kT para silício com m_{n}^{*}=1{,}08\,m_{0} em duas temperaturas: (i) T=300\\ \mathrm{K} e (ii) T=400\\ \mathrm{K}. O resultado deve ficar em \mathrm{cm}^{-3}.
  • Informação fornecida: a densidade de estados por energia no fundo da banda de condução é
g_{c}(E)=\frac{\left(2 m_{n}^{*}\right)^{3/2}}{2\pi^{2}\hbar^{3}}\sqrt{E-E_{c}}.
  • Constantes que usarei (valores SI):
    • massa do elétron: m_{0}=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg},
    • constante de Boltzmann: k=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K},
    • constante de Planck reduzida: \hbar=1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
  • Observação: ao integrar g_{c}(E) de E_{c} até E_{c}+2kT obtemos o número total de estados por unidade de volume naquela janela de energia. A conversão final para \mathrm{cm}^{-3} será feita sabendo que 1\\ \mathrm{m}^{3}=10^{6}\\ \mathrm{cm}^{3}.

Passo 2

Estratégia e cálculo simbólico do integral.
  • Queremos
N=\int_{E_{c}}^{E_{c}+2kT} g_{c}(E)\,dE.
  • Substituindo g_{c}(E) e fazendo a mudança de variável E'=E-E_{c} (então E'=0 a E'=2kT):
N=\frac{(2m_{n}^{*})^{3/2}}{2\pi^{2}\hbar^{3}}\int_{0}^{2kT}\sqrt{E'}\,dE'.
  • A integral básica que vamos usar é
\int_{0}^{A}\sqrt{E'}\,dE'=\int_{0}^{A}(E')^{1/2}dE'=\left.\frac{2}{3}(E')^{3/2}\right|_{0}^{A}=\frac{2}{3}A^{3/2}.

Passo 3

Avaliação do integral e simplificação algébrica.
  • Aplicando a fórmula da integral com A=2kT:
N=\frac{(2m_{n}^{*})^{3/2}}{2\pi^{2}\hbar^{3}}\cdot\frac{2}{3}\,(2kT)^{3/2}.
  • Simplificando os fatores de 2:
(2m_{n}^{*})^{3/2}(2kT)^{3/2}=2^{3/2}2^{3/2}(m_{n}^{*})^{3/2}(kT)^{3/2}=2^{3}(m_{n}^{*})^{3/2}(kT)^{3/2}=8\,(m_{n}^{*})^{3/2}(kT)^{3/2}.
  • Portanto
N=\frac{1}{2\pi^{2}\hbar^{3}}\cdot\frac{2}{3}\cdot 8\,(m_{n}^{*})^{3/2}(kT)^{3/2} =\frac{8}{3\pi^{2}\hbar^{3}}\,(m_{n}^{*})^{3/2}(kT)^{3/2}.
  • Resultado simbólico final útil:
\boxed{\,N=\frac{8}{3\pi^{2}\hbar^{3}}\,(m_{n}^{*})^{3/2}(kT)^{3/2}\,}
Esta fórmula diz: o número de estados na janela [E_{c},E_{c}+2kT] cresce como (m_{n}^{*}kT)^{3/2}. Aqui m_{n}^{*} é a massa efetiva do elétron e kT a energia térmica.

Passo 4

Preparando-se para calcular numericamente: valores numéricos e conversão.
  • Massa efetiva: m_{n}^{*}=1{,}08\,m_{0}=1{,}08\times 9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}=9{,}838125\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
  • Vou calcular X=(m_{n}^{*}kT)^{3/2} e depois multiplicar pelo coeficiente C=\dfrac{8}{3\pi^{2}\hbar^{3}}.
  • Cálculo do coeficiente C:
    • \hbar^{3}=(1{,}054571817\times10^{-34})^{3}\approx 1{,}173\times10^{-102}\\ \mathrm{(J\,s)^{3}}.
    • \pi^{2}\approx9{,}8696.
    • \pi^{2}\hbar^{3}\approx 1{,}158\times10^{-101}.
    • C=\dfrac{8}{3\pi^{2}\hbar^{3}}\approx \dfrac{8}{3\times 1{,}158\times10^{-101}}\approx 2{,}303\times10^{101} (unidades implícitas que combinam com (m kT)^{3/2} para dar densidade por volume).

Passo 5

Cálculo numérico para T=300\\ \mathrm{K}.
  • Primeiro kT:
kT=1{,}380649\times10^{-23}\times 300 =4{,}141947\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
  • Produto m_{n}^{*}kT:
m_{n}^{*}kT=9{,}838125\times10^{-31}\times 4{,}141947\times10^{-21}=4{,}0770\times10^{-51}.
  • Agora (m_{n}^{*}kT)^{3/2}:
(m_{n}^{*}kT)^{3/2}\approx 2{,}605\times10^{-76}.
  • Multiplicando pelo coeficiente C:
N_{300}=C\cdot (m_{n}^{*}kT)^{3/2}\approx 2{,}303\times10^{101}\times 2{,}605\times10^{-76}\approx 6{,}00\times10^{25}\\ \mathrm{m^{-3}}.
  • Convertendo para \mathrm{cm^{-3}} (dividir por 10^{6}):
N_{300}\approx 6{,}00\times10^{19}\\ \mathrm{cm^{-3}}.

Passo 6

Cálculo numérico para T=400\\ \mathrm{K}.
  • Primeiro kT:
kT=1{,}380649\times10^{-23}\times 400 =5{,}522596\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
  • Produto m_{n}^{*}kT:
m_{n}^{*}kT=9{,}838125\times10^{-31}\times 5{,}522596\times10^{-21}=5{,}4347\times10^{-51}.
  • Agora (m_{n}^{*}kT)^{3/2}:
(m_{n}^{*}kT)^{3/2}\approx 4{,}008\times10^{-76}.
  • Multiplicando pelo coeficiente C:
N_{400}=C\cdot (m_{n}^{*}kT)^{3/2}\approx 2{,}303\times10^{101}\times 4{,}008\times10^{-76}\approx 9{,}23\times10^{25}\\ \mathrm{m^{-3}}.
  • Convertendo para \mathrm{cm^{-3}}:
N_{400}\approx 9{,}23\times10^{19}\\ \mathrm{cm^{-3}}.

Resposta

6{,}00\times10^{19}\\ \mathrm{cm^{-3}}
9{,}23\times10^{19}\\ \mathrm{cm^{-3}}

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