Determine o número total \left(\mathrm{em} \mathrm{cm}^{-3}\right) de estados de energia entre E_{c} e E_{c}+2 k T para:
a. Silício \left(m_{n}^{*}=1,08 m_{0}\right): (i) T=300 \mathrm{Ke} (ii) T=400 \mathrm{~K}
Pedido: determinar o número total de estados de energia (por unidade de volume) entre E_{c} e E_{c}+2kT para silício com m_{n}^{*}=1{,}08\,m_{0} em duas temperaturas: (i) T=300\\ \mathrm{K} e (ii) T=400\\ \mathrm{K}. O resultado deve ficar em \mathrm{cm}^{-3}.
Informação fornecida: a densidade de estados por energia no fundo da banda de condução é
massa do elétron: m_{0}=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg},
constante de Boltzmann: k=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K},
constante de Planck reduzida: \hbar=1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
Observação: ao integrar g_{c}(E) de E_{c} até E_{c}+2kT obtemos o número total de estados por unidade de volume naquela janela de energia. A conversão final para \mathrm{cm}^{-3} será feita sabendo que 1\\ \mathrm{m}^{3}=10^{6}\\ \mathrm{cm}^{3}.
Passo 2
Estratégia e cálculo simbólico do integral.
Queremos
N=\int_{E_{c}}^{E_{c}+2kT} g_{c}(E)\,dE.
Substituindo g_{c}(E) e fazendo a mudança de variável E'=E-E_{c} (então E'=0 a E'=2kT):
Esta fórmula diz: o número de estados na janela [E_{c},E_{c}+2kT] cresce como (m_{n}^{*}kT)^{3/2}. Aqui m_{n}^{*} é a massa efetiva do elétron e kT a energia térmica.
Passo 4
Preparando-se para calcular numericamente: valores numéricos e conversão.
Massa efetiva: m_{n}^{*}=1{,}08\,m_{0}=1{,}08\times 9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}=9{,}838125\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
Vou calcular X=(m_{n}^{*}kT)^{3/2} e depois multiplicar pelo coeficiente C=\dfrac{8}{3\pi^{2}\hbar^{3}}.
C=\dfrac{8}{3\pi^{2}\hbar^{3}}\approx \dfrac{8}{3\times 1{,}158\times10^{-101}}\approx 2{,}303\times10^{101} (unidades implícitas que combinam com (m kT)^{3/2} para dar densidade por volume).