A energia de Fermi para o cobre em T=300 \mathrm{~K} é 7,0 \mathrm{eV}. Os elétrons no cobre seguem a função de distribuição de Fermi-Dirac. Equação: f(E)=\frac{1}{1+e^{\left(E-E_{F}\right) / k T}}
Determine a probabilidade do estado de energia em E=E_{F} ser ocupado em T=300 \mathrm{~K} e em T=1000 \mathrm{~K}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Dado: a energia de Fermi do cobre é \,E_F=7,0\\ \mathrm{eV}.
  • Dada a função de distribuição de Fermi–Dirac:
f(E)=\frac{1}{1+e^{\left(E-E_{F}\right)/kT}}
  • Pedidos: determinar a probabilidade do estado de energia em \,E=E_F ser ocupado para \,T=300\\ \mathrm{K} e para \,T=1000\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Vamos explicar com calma cada símbolo da fórmula (para você decorar sem stress):
  • \,f(E) é a probabilidade de um estado com energia \,E estar ocupado por um elétron (vai de 0 a 1).
  • \,E_F é a energia de Fermi (aqui \,7,0\\ \mathrm{eV}).
  • \,k é a constante de Boltzmann. Em unidades de \mathrm{eV/K} vale aproximadamente
k \approx 8,617\times10^{-5}\\ \mathrm{eV/K}.
  • \,T é a temperatura em kelvin.
    A fórmula diz que a ocupação depende apenas do expoente \,(E-E_F)/(kT).

Passo 3

Agora avaliaremos a função no ponto pedido: \,E=E_F. Substituindo \,E=E_F na expressão do expoente temos:
\frac{E-E_F}{kT} = \frac{E_F-E_F}{kT} = 0.
Portanto o expoente é zero para qualquer temperatura finita.

Passo 4

Substituindo esse resultado na expressão de f(E) obtemos:
f(E_F)=\frac{1}{1+e^{0}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
Em decimal isso é 0,5. Note que essa igualdade vale independentemente do valor de \,T (desde que \,T seja finito), porque o expoente ficou exatamente zero.

Passo 5

Para reforçar a intuição: mesmo que a energia de Fermi seja numericamente \,7,0\\ \mathrm{eV} e o valor de \,kT mude com a temperatura (por exemplo
kT|_{300\mathrm{K}}\approx 8,617\times10^{-5}\cdot300 \approx 0,02585\\ \mathrm{eV},
kT|_{1000\mathrm{K}}\approx 8,617\times10^{-5}\cdot1000 \approx 0,08617\\ \mathrm{eV}),
isso não altera o fato de que, exatamente em \,E=E_F, o numerador do expoente é zero e então f=1/2. Ou seja: metade dos estados com energia exatamente igual a \,E_F está ocupada (probabilidade 50\%), para qualquer temperatura finita.

Passo 6

Um comentário prático para a prova: se a questão pedisse E ligeiramente acima ou abaixo de \,E_F, aí sim o valor de \,kT importaria — por exemplo, para \,E=E_F+ kT tem-se f=1/(1+e^{1})\approx0,269 (no caso numérico isso depende de qual T define kT). Mas para o caso exato E=E_F a resposta é sempre 1/2.

Resposta

T=300\\ \mathrm{K}:\\ f(E_F)=\tfrac{1}{2}=0,5
T=1000\\ \mathrm{K}:\\ f(E_F)=\tfrac{1}{2}=0,5

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