A energia de Fermi para o cobre em
é
. Os elétrons no cobre seguem a função de distribuição de Fermi-Dirac. Equação:
Determine a probabilidade do estado de energia em
ser ocupado em
e em
.
Determine a probabilidade do estado de energia em
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Dado: a energia de Fermi do cobre é
. - Dada a função de distribuição de Fermi–Dirac:
- Pedidos: determinar a probabilidade do estado de energia em
ser ocupado para e para .
Passo 2
Vamos explicar com calma cada símbolo da fórmula (para você decorar sem stress):
-
é a probabilidade de um estado com energia estar ocupado por um elétron (vai de 0 a 1). -
é a energia de Fermi (aqui ). -
é a constante de Boltzmann. Em unidades de vale aproximadamente
-
é a temperatura em kelvin.
A fórmula diz que a ocupação depende apenas do expoente.
Passo 3
Agora avaliaremos a função no ponto pedido:
. Substituindo
na expressão do expoente temos:
Portanto o expoente é zero para qualquer temperatura finita.
Passo 4
Substituindo esse resultado na expressão de
obtemos:
Em decimal isso é
. Note que essa igualdade vale independentemente do valor de
(desde que
seja finito), porque o expoente ficou exatamente zero.
Passo 5
Para reforçar a intuição: mesmo que a energia de Fermi seja numericamente
e o valor de
mude com a temperatura (por exemplo
isso não altera o fato de que, exatamente em
, o numerador do expoente é zero e então
. Ou seja: metade dos estados com energia exatamente igual a
está ocupada (probabilidade
), para qualquer temperatura finita.
Passo 6
Um comentário prático para a prova: se a questão pedisse
ligeiramente acima ou abaixo de
, aí sim o valor de
importaria — por exemplo, para
tem-se
(no caso numérico isso depende de qual
define
). Mas para o caso exato
a resposta é sempre
.