O nível de energia de Fermi para um determinado material em T=300 \mathrm{~K} é 5,50 \mathrm{eV}. Os elétrons neste material seguem a função de distribuição de Fermi-Dirac.
a. Encontre a probabilidade de um elétron ocupar uma energia de 5,80 \mathrm{eV}.
b. Repita o item (a) se a temperatura for aumentada para T=700 \mathrm{~K}. (Assuma que E_{F} é constante.)
c. Determine a temperatura na qual há uma probabilidade de 2 \% de que um estado 0,25 \mathrm{eV} abaixo do nível de Fermi esteja vazio (não ocupado por um elétron).
Equação: f(E)=\frac{1}{1+e^{\left(E-E_{F}\right) / k T}}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo em notação matemática conforme informado):
  • Dado: o nível de Fermi é \,E_F = 5{,}50\\ \mathrm{eV}\,.
  • Dado: a função de distribuição de Fermi–Dirac é
f(E)=\frac{1}{1+e^{\left(E-E_{F}\right)/kT}}.
  • Constante de Boltzmann (em unidades de eV/K): vou usar \,k \approx 8{,}617\times10^{-5}\\ \mathrm{eV/K}.
  • Pergunta (a): calcular a probabilidade de ocupação para E=5{,}80\\ \mathrm{eV} quando T=300\\ \mathrm{K}.
  • Pergunta (b): repetir (a) para T=700\\ \mathrm{K} (assumindo E_F constante).
  • Pergunta (c): determinar a temperatura T tal que a probabilidade de que um estado 0{,}25\\ \mathrm{eV} abaixo de E_F esteja vazio seja 2\%. “Vazio” significa probabilidade de não ocupação igual a 0{,}02.

Passo 2

Explicação do método e das fórmulas que vamos usar (passo-a-passo do que faremos):
  • A função f(E) dá a probabilidade de que um nível de energia E esteja ocupado por um elétron. Logo, a probabilidade de o nível estar vazio é 1-f(E).
  • Para calcular f(E) basta substituir E, E_F, k e T na fórmula e avaliar a exponencial.
  • Quando for necessário inverter a fórmula (como em (c)), isolamos o expoente:
\frac{1}{f}-1 = e^{(E-E_F)/kT}\quad\Rightarrow\quad \frac{E-E_F}{kT} = \ln\!\left(\frac{1}{f}-1\right).
  • Vou trabalhar com números com precisão suficiente para provas; evite usar calculadora complexa na prova: calcular kT, dividir a diferença de energia por kT, avaliar a exponencial (ou tomar logaritmo inverso) e montar f.
Agora aplico isso numericamente no item (a).

Passo 3

Cálculo do item (a): E=5{,}80\\ \mathrm{eV}, E_F=5{,}50\\ \mathrm{eV}, T=300\\ \mathrm{K}.
  1. Diferença de energias:
\Delta E = E-E_F = 5{,}80-5{,}50 = 0{,}30\\ \mathrm{eV}.
  1. Calcular kT:
kT = \left(8{,}617\times10^{-5}\right)\cdot 300 \approx 0{,}025851\\ \mathrm{eV}.
(Explicação rápida: k em eV/K multiplicado por T kT em eV; kT é a escala térmica de energia.)
  1. Calcular o expoente:
x \equiv \frac{\Delta E}{kT} = \frac{0{,}30}{0{,}025851}\approx 11{,}606.
  1. Avaliar a exponencial e f:
e^{x} \approx e^{11{,}606}\approx 1{,}09\times10^{5},
f(E)=\frac{1}{1+e^{x}}\approx \frac{1}{1+1{,}09\times10^{5}}\approx 9{,}17\times10^{-6}.
Interpretação curta: como E está acima de E_F por 0{,}30\\ \mathrm{eV} e a escala térmica kT é pequena a 300\\ \mathrm{K}, a probabilidade de ocupação é muito baixa.

Passo 4

Cálculo do item (b): mesmo procedimento para T=700\\ \mathrm{K}.
  1. \Delta E = 0{,}30\\ \mathrm{eV} (mesmo que antes).
  2. Calcular kT em 700\\ \mathrm{K}:
kT = \left(8{,}617\times10^{-5}\right)\cdot 700 \approx 0{,}060321\\ \mathrm{eV}.
  1. Expoente:
x = \frac{\Delta E}{kT} = \frac{0{,}30}{0{,}060321}\approx 4{,}973.
  1. Avaliar exponencial e f:
e^{x} \approx e^{4{,}973}\approx 144{,}6,
f(E)=\frac{1}{1+e^{x}}\approx \frac{1}{1+144{,}6}\approx 6{,}87\times10^{-3}.
Interpretação curta: aumentando T a kT cresce, o expoente diminui, logo a probabilidade de ocupação para níveis acima de E_F aumenta (ainda pequena, mas bem maior que em 300\\ \mathrm{K}).

Passo 5

Cálculo do item (c): queremos que um estado 0{,}25\\ \mathrm{eV} abaixo de E_F esteja vazio com probabilidade 0{,}02. Ou seja:
1-f(E)=0{,}02 \quad\Rightarrow\quad f(E)=0{,}98.
Aqui E = E_F-0{,}25\\ \mathrm{eV}, portanto E-E_F = -0{,}25\\ \mathrm{eV}.
  1. Inversão da fórmula (isolando T):
\frac{1}{f}-1 = e^{(E-E_F)/kT}.
Substituindo f=0{,}98:
\frac{1}{0{,}98}-1 = 0{,}020408\ldots
\Rightarrow \exp\!\left(\frac{E-E_F}{kT}\right) = 0{,}020408\ldots
  1. Tomando logaritmo natural:
\frac{E-E_F}{kT} = \ln(0{,}020408\ldots) \approx -3{,}8879.
  1. Substituir E-E_F = -0{,}25\\ \mathrm{eV} e resolver para kT:
\frac{-0{,}25}{kT} \approx -3{,}8879 \quad\Rightarrow\quad kT \approx \frac{0{,}25}{3{,}8879}\approx 0{,}06425\\ \mathrm{eV}.
  1. Finalmente achar T:
T = \frac{kT}{k} \approx \frac{0{,}06425}{8{,}617\times10^{-5}}\approx 745{,}9\\ \mathrm{K}.
Arredondando para três algarismos significativos: T\approx 746\\ \mathrm{K}.
Breve interpretação: para que um nível 0{,}25\\ \mathrm{eV} abaixo de E_F tenha 2% de chance de estar vazio, a temperatura precisa ser relativamente alta (ordem de centenas de kelvin), porque estados abaixo de E_F tendem a estar majoritariamente ocupados.

Passo 6

Resumo final rápido (para guardar na prova):
  • Use sempre \,kT em eV quando as energias estiverem em eV.
  • Para E acima de E_F a ocupação é pequena e cai aproximadamente como e^{-(E-E_F)/kT} quando (E-E_F)\gg kT.
  • Para inverter f use \ln como mostrado; cuidado com o sinal de (E-E_F).

Resposta

a)\\ f(5{,}80\\ \mathrm{eV},\,300\\ \mathrm{K}) \approx 9{,}17\times10^{-6}
b)\\ f(5{,}80\\ \mathrm{eV},\,700\\ \mathrm{K}) \approx 6{,}87\times10^{-3}
\text{©}\ T \approx 746\ \mathrm{K})

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