O nível de energia de Fermi para um determinado material em
é
. Os elétrons neste material seguem a função de distribuição de Fermi-Dirac.
a. Encontre a probabilidade de um elétron ocupar uma energia de
.
b. Repita o item (a) se a temperatura for aumentada para
. (Assuma que
é constante.)
c. Determine a temperatura na qual há uma probabilidade de
de que um estado
abaixo do nível de Fermi esteja vazio (não ocupado por um elétron).
Equação:
a. Encontre a probabilidade de um elétron ocupar uma energia de
b. Repita o item (a) se a temperatura for aumentada para
c. Determine a temperatura na qual há uma probabilidade de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo em notação matemática conforme informado):
- Dado: o nível de Fermi é
. - Dado: a função de distribuição de Fermi–Dirac é
- Constante de Boltzmann (em unidades de eV/K): vou usar
. - Pergunta (a): calcular a probabilidade de ocupação para
quando . - Pergunta (b): repetir (a) para
(assumindo constante). - Pergunta (c): determinar a temperatura
tal que a probabilidade de que um estado abaixo de esteja vazio seja . “Vazio” significa probabilidade de não ocupação igual a .
Passo 2
Explicação do método e das fórmulas que vamos usar (passo-a-passo do que faremos):
- A função
dá a probabilidade de que um nível de energia esteja ocupado por um elétron. Logo, a probabilidade de o nível estar vazio é . - Para calcular
basta substituir , , e na fórmula e avaliar a exponencial. - Quando for necessário inverter a fórmula (como em (c)), isolamos o expoente:
- Vou trabalhar com números com precisão suficiente para provas; evite usar calculadora complexa na prova: calcular
, dividir a diferença de energia por , avaliar a exponencial (ou tomar logaritmo inverso) e montar .
Agora aplico isso numericamente no item (a).
Passo 3
Cálculo do item (a):
,
,
.
- Diferença de energias:
- Calcular
:
(Explicação rápida:
em eV/K multiplicado por
dá
em eV;
é a escala térmica de energia.)
- Calcular o expoente:
- Avaliar a exponencial e
:
Interpretação curta: como
está acima de
por
e a escala térmica
é pequena a
, a probabilidade de ocupação é muito baixa.
Passo 4
Cálculo do item (b): mesmo procedimento para
.
-
(mesmo que antes). -
Calcular
em :
- Expoente:
- Avaliar exponencial e
:
Interpretação curta: aumentando
a
cresce, o expoente diminui, logo a probabilidade de ocupação para níveis acima de
aumenta (ainda pequena, mas bem maior que em
).
Passo 5
Cálculo do item (c): queremos que um estado
abaixo de
esteja vazio com probabilidade
. Ou seja:
Aqui
, portanto
.
- Inversão da fórmula (isolando
):
Substituindo
:
- Tomando logaritmo natural:
- Substituir
e resolver para :
- Finalmente achar
:
Arredondando para três algarismos significativos:
.
Breve interpretação: para que um nível
abaixo de
tenha 2% de chance de estar vazio, a temperatura precisa ser relativamente alta (ordem de centenas de kelvin), porque estados abaixo de
tendem a estar majoritariamente ocupados.
Passo 6
Resumo final rápido (para guardar na prova):
- Use sempre
em eV quando as energias estiverem em eV. - Para
acima de a ocupação é pequena e cai aproximadamente como quando . - Para inverter
use como mostrado; cuidado com o sinal de .
Resposta
\text{©}\ T \approx 746\ \mathrm{K})