Determine os números críticos e os extremos de f no intervalo dado:
f(x)=\operatorname{sec} (x), \quad\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}\right]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f(x)=\operatorname{sec}(x) no intervalo \left[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{4}\right]:
  • Determinar os números críticos de f dentro do intervalo (ou seja, pontos no intervalo onde f' é zero ou não existe).
  • Determinar os extremos de f nesse intervalo (máximos e mínimos, indicando onde ocorrem).
Informações dadas e observações iniciais:
f(x)=\operatorname{sec}(x)=\frac{1}{\cos(x)},
o intervalo fechado é \left[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{4}\right].
Note que \cos(x)=0 em x=\pm\frac{\pi}{2},\pm\frac{3\pi}{2},\dots — verificaremos se algum desses pontos está no intervalo (spoiler: não estão).

Passo 2

Definição e estratégia (explicação didática):
Um número crítico de f é um ponto c no domínio de f tal que ou f'\text{(c)}=0 ou f' não existe em c. Para encontrar extremos em um intervalo fechado, precisamos checar:
  1. os pontos críticos interiores ao intervalo,
  2. os extremos nos extremos do intervalo (os próprios endpoints),
    e então comparar os valores de f nesses pontos para achar máximos e mínimos absolutos. Também podemos usar o sinal de f' para identificar se um ponto crítico é mínimo ou máximo local.

Passo 3

Calcular a derivada f'(x) explicando as regras usadas:
Usamos que \operatorname{sec}(x)=1/\cos(x). Vou derivar usando a regra do quociente (ou produto com a regra da cadeia), mostrando o raciocínio passo a passo.
Começando com \displaystyle f(x)=\frac{1}{\cos(x)}. Pela regra do quociente (ou nota: derivando g(x)=\cos(x) temos g'(x)=-\sin(x)), temos
f'(x)=\frac{0\cdot\cos(x)-1\cdot(-\sin(x))}{\cos^2(x)}=\frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}.
Agora reorganizamos usando \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} e \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}:
f'(x)=\frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\cdot\frac{1}{\cos(x)}=\tan(x)\operatorname{sec}(x).
Portanto
f'(x)=\operatorname{sec}(x)\tan(x).

Passo 4

Encontrar onde f'(x)=0 ou f'(x) não existe dentro do intervalo:
  • Zeros de f': resolvemos
\operatorname{sec}(x)\tan(x)=0.
Como \operatorname{sec}(x) só seria zero se 1/\cos(x)=0, o que nunca ocorre (não existe x tal que \operatorname{sec}(x)=0), a única possibilidade é
\tan(x)=0.
As soluções gerais são x=k\pi com k\in\mathbb{Z}. No nosso intervalo \left[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{4}\right] o único múltiplo de \pi presente é x=0. Logo x=0 é um candidato (e é um ponto do domínio, pois \cos 0=1\neq0).
  • Pontos onde f' não existe: isso ocorre quando \cos(x)=0 (pois \operatorname{sec} ou \tan ficam indefinidos). As soluções são x=\pm\frac{\pi}{2},\dots — nenhum desses está no intervalo \left[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{4}\right]. Portanto não há pontos de descontinuidade da derivada dentro do intervalo.
Conclusão deste passo: o único número crítico em \left[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{4}\right] é
x=0.

Passo 5

Avaliar f nos pontos relevantes: endpoints e o número crítico. Vou calcular cuidadosamente cada valor (mostrando trigonometria usada).
  1. Em x=-\dfrac{\pi}{3}:
\cos\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2},
portanto
f\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\operatorname{sec}\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{\cos(-\pi/3)}= \frac{1}{1/2}=2.
  1. Em x=0:
\cos(0)=1\quad\Rightarrow\quad f(0)=\operatorname{sec}(0)=\frac{1}{1}=1.
  1. Em x=\dfrac{\pi}{4}:
\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad f\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\operatorname{sec}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}/2}=\sqrt{2}.
Então os valores são:
f\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=2,\quad f(0)=1,\quad f\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\\ (\approx1,4142).

Passo 6

Classificar os extremos (local e absoluto), usando comparação de valores e análise do sinal de f':
  • Comparação direta dos valores: entre 2,\;1,\;\sqrt{2} o menor é 1 (em x=0) e o maior é 2 (em x=-\pi/3). Como estamos em um intervalo fechado e examinamos todos os candidatos (ponto crítico interior e endpoints), concluímos que:
    • mínimo absoluto (global) é f(0)=1 em x=0,
    • máximo absoluto (global) é f\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=2 em x=-\frac{\pi}{3}.
  • Verificação local em x=0 via sinal de f': lembrando f'(x)=\operatorname{sec}(x)\tan(x).
    Para x um pouco negativo (por exemplo x=-\pi/6), temos \tan(-\pi/6)=-\tfrac{1}{\sqrt{3}}<0 e \operatorname{sec}(-\pi/6)>0, então f'(x)<0 à esquerda de 0.
    Para x um pouco positivo (por exemplo x=\pi/8), \tan(\pi/8)>0 e \operatorname{sec}(\pi/8)>0, então f'(x)>0 à direita de 0.
    Como f' muda de negativo para positivo em x=0, isso indica que x=0 é um mínimo local. Como já vimos é também o mínimo absoluto no intervalo.
  • O endpoint x=-\frac{\pi}{3} fornece o valor máximo absoluto; x=\frac{\pi}{4} não é extremo.

Resposta

Números críticos: x=0
Extremos: máximo absoluto em x=-\dfrac{\pi}{3} com f\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=2
mínimo absoluto (e mínimo local) em x=0 com f(0)=1

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