Determine os números críticos e os extremos de
no intervalo dado:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
no intervalo
:
- Determinar os números críticos de
dentro do intervalo (ou seja, pontos no intervalo onde é zero ou não existe). - Determinar os extremos de
nesse intervalo (máximos e mínimos, indicando onde ocorrem).
Informações dadas e observações iniciais:
o intervalo fechado é
.
Note que em
— verificaremos se algum desses pontos está no intervalo (spoiler: não estão).
Note que
Passo 2
Definição e estratégia (explicação didática):
Um número crítico de é um ponto
no domínio de
tal que ou
ou
não existe em
. Para encontrar extremos em um intervalo fechado, precisamos checar:
Um número crítico de
- os pontos críticos interiores ao intervalo,
- os extremos nos extremos do intervalo (os próprios endpoints),
e então comparar os valores denesses pontos para achar máximos e mínimos absolutos. Também podemos usar o sinal de para identificar se um ponto crítico é mínimo ou máximo local.
Passo 3
Calcular a derivada
explicando as regras usadas:
Usamos que . Vou derivar usando a regra do quociente (ou produto com a regra da cadeia), mostrando o raciocínio passo a passo.
Usamos que
Começando com
. Pela regra do quociente (ou nota: derivando
temos
), temos
Agora reorganizamos usando
e
:
Portanto
Passo 4
Encontrar onde
ou
não existe dentro do intervalo:
- Zeros de
: resolvemos
Como
só seria zero se
, o que nunca ocorre (não existe
tal que
), a única possibilidade é
As soluções gerais são
com
. No nosso intervalo
o único múltiplo de
presente é
. Logo
é um candidato (e é um ponto do domínio, pois
).
- Pontos onde
não existe: isso ocorre quando (pois ou ficam indefinidos). As soluções são — nenhum desses está no intervalo . Portanto não há pontos de descontinuidade da derivada dentro do intervalo.
Conclusão deste passo: o único número crítico em
é
Passo 5
Avaliar
nos pontos relevantes: endpoints e o número crítico. Vou calcular cuidadosamente cada valor (mostrando trigonometria usada).
- Em
:
portanto
- Em
:
- Em
:
Então os valores são:
Passo 6
Classificar os extremos (local e absoluto), usando comparação de valores e análise do sinal de
:
-
Comparação direta dos valores: entre
o menor é (em ) e o maior é (em ). Como estamos em um intervalo fechado e examinamos todos os candidatos (ponto crítico interior e endpoints), concluímos que: - mínimo absoluto (global) é
em , - máximo absoluto (global) é
em .
- mínimo absoluto (global) é
-
Verificação local em
via sinal de : lembrando .
Paraum pouco negativo (por exemplo ), temos e , então à esquerda de .
Paraum pouco positivo (por exemplo ), e , então à direita de .
Comomuda de negativo para positivo em , isso indica que é um mínimo local. Como já vimos é também o mínimo absoluto no intervalo. -
O endpoint
fornece o valor máximo absoluto; não é extremo.
Resposta
Números críticos:
Extremos: máximo absoluto em
com
mínimo absoluto (e mínimo local) em com
mínimo absoluto (e mínimo local) em