Determine os números críticos e os extremos de f no intervalo dado:
f(x)=x^{3}-3 x, \quad[-1,2] .

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{3}-3x definida no intervalo fechado [-1,2] e pede duas coisas: (1) os números críticos de f no intervalo dado e (2) os extremos de f nesse intervalo (isto é, máximos e mínimos, tanto locais quanto absolutos).
Informações relevantes fornecidas: a expressão de f e os extremos do domínio considerado, x=-1 e x=2. Não há figuras nem tabelas.

Passo 2

O que é um número crítico? Um número crítico de f é um ponto x no domínio onde a derivada f'(x) é zero ou não existe. Intuição rápida: pontos críticos são onde a inclinação da curva é nula (ponto horizontal) ou a derivada falha — locais candidatos a máximos ou mínimos. Para decidir se um ponto crítico é máximo, mínimo ou nenhum dos dois, usamos testes (por exemplo, o teste da segunda derivada) ou analisamos o sinal de f' ao redor do ponto.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de f. Aplicando a regra de potência termo a termo:
f(x)=x^{3}-3x \quad\Rightarrow\quad f'(x)=3x^{2}-3.
Podemos fatorar:
f'(x)=3(x^{2}-1)=3(x-1)(x+1).

Passo 4

Achar os números críticos resolvendo f'(x)=0 e verificando onde f' não existe. Como f' é polinomial, ela existe em toda parte, então só procuramos raízes:
3(x-1)(x+1)=0 \quad\Rightarrow\quad x=1\quad\text{ou}\quad x=-1.
Ambos pertencem ao intervalo [-1,2]. Portanto os números críticos na região considerada são x=-1 e x=1. (Observação: x=-1 é também um extremo do intervalo, mas como f'(-1)=0 ele também entra como número crítico.)

Passo 5

Para classificar os pontos críticos usamos a segunda derivada (teste da segunda derivada). Calculamos:
f''(x)=\frac{d}{dx}(3x^{2}-3)=6x.
O teste da segunda derivada diz: se f''\text{(c)}>0 então f tem mínimo local em c; se f''\text{(c)}<0 então tem máximo local em c. (Se f''\text{(c)}=0 o teste é inconclusivo.)

Passo 6

Aplicando o teste da segunda derivada nos críticos:
f''(1)=6\cdot 1=6>0 \quad\Rightarrow\quad x=1\\ \text{é um mínimo local}.éí
f''(-1)=6\cdot(-1)=-6<0 \quad\Rightarrow\quad x=-1\\ \text{é um máximo local (considerando a vizinhança no domínio).}éáçí
Comentário sobre endpoints: pontos finais do intervalo (como x= -1 e x=2) não têm vizinhança simétrica dentro do domínio, mas podem ser considerados extremos locais/absolutos se os valores próximos do domínio forem menores/maiores conforme o caso. Aqui x=-1 é simultaneamente extremo do domínio e foi identificado pelo teste (porque f'(-1)=0).

Passo 7

Para encontrar os extremos absolutos em um intervalo fechado, a receita padrão é avaliar f em todos os candidatos: pontos críticos interiores e os endpoints. Os pontos a verificar são x=-1, x=1 e x=2. Calculando:
f(-1)=(-1)^{3}-3(-1)=-1+3=2,
f(1)=1^{3}-3\cdot 1=1-3=-2,
f(2)=2^{3}-3\cdot 2=8-6=2.

Passo 8

Comparando os valores obtidos: f(-1)=2, f(1)=-2, f(2)=2. O maior valor é 2, que ocorre em x=-1 e em x=2. O menor valor é -2, que ocorre em x=1. Logo:
  • máximos absolutos: valor 2 em x=-1 e x=2;
  • mínimo absoluto: valor -2 em x=1.

Passo 9

Resumo da classificação local (útil para a prova): olhando o sinal de f':
  • Para -1<x<1, x^{2}-1<0 então f'(x)<0 (função decresce).
  • Para x>1, x^{2}-1>0 então f'(x)>0 (função cresce).
    Assim em x=1 a função passa de decrescente para crescente → mínimo local. Em x=-1 (ponto de fronteira do intervalo) a função, para os pontos de seu domínio imediatamente à direita, decresce (logo f(-1) é maior que valores próximos à direita) → x=-1 é um máximo local relativo ao domínio. Em x=2 a função vem crescendo até o endpoint, e o valor em 2 é maior que os valores à esquerda próximos → x=2 também é máximo local relativo ao domínio.

Resposta

Números críticos: x=-1,\;x=1.
Máximos absolutos: f(-1)=2 e f(2)=2.
Mínimo absoluto: f(1)=-2.
Máximo(s) local(is): x=-1 e x=2 (valor 2).
Mínimo local: x=1 (valor -2).

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