Determine os números críticos e os extremos de
no intervalo dado:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no intervalo fechado
e pede duas coisas: (1) os números críticos de
no intervalo dado e (2) os extremos de
nesse intervalo (isto é, máximos e mínimos, tanto locais quanto absolutos).
Informações relevantes fornecidas: a expressão de e os extremos do domínio considerado,
e
. Não há figuras nem tabelas.
Informações relevantes fornecidas: a expressão de
Passo 2
O que é um número crítico? Um número crítico de
é um ponto
no domínio onde a derivada
é zero ou não existe. Intuição rápida: pontos críticos são onde a inclinação da curva é nula (ponto horizontal) ou a derivada falha — locais candidatos a máximos ou mínimos. Para decidir se um ponto crítico é máximo, mínimo ou nenhum dos dois, usamos testes (por exemplo, o teste da segunda derivada) ou analisamos o sinal de
ao redor do ponto.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Aplicando a regra de potência termo a termo:
Podemos fatorar:
Passo 4
Achar os números críticos resolvendo
e verificando onde
não existe. Como
é polinomial, ela existe em toda parte, então só procuramos raízes:
Ambos pertencem ao intervalo
. Portanto os números críticos na região considerada são
e
. (Observação:
é também um extremo do intervalo, mas como
ele também entra como número crítico.)
Passo 5
Para classificar os pontos críticos usamos a segunda derivada (teste da segunda derivada). Calculamos:
O teste da segunda derivada diz: se
então
tem mínimo local em
; se
então tem máximo local em
. (Se
o teste é inconclusivo.)
Passo 6
Aplicando o teste da segunda derivada nos críticos:
Comentário sobre endpoints: pontos finais do intervalo (como
e
) não têm vizinhança simétrica dentro do domínio, mas podem ser considerados extremos locais/absolutos se os valores próximos do domínio forem menores/maiores conforme o caso. Aqui
é simultaneamente extremo do domínio e foi identificado pelo teste (porque
).
Passo 7
Para encontrar os extremos absolutos em um intervalo fechado, a receita padrão é avaliar
em todos os candidatos: pontos críticos interiores e os endpoints. Os pontos a verificar são
,
e
. Calculando:
Passo 8
Comparando os valores obtidos:
,
,
. O maior valor é
, que ocorre em
e em
. O menor valor é
, que ocorre em
. Logo:
- máximos absolutos: valor
em e ; - mínimo absoluto: valor
em .
Passo 9
Resumo da classificação local (útil para a prova): olhando o sinal de
:
- Para
, então (função decresce). - Para
, então (função cresce).
Assim ema função passa de decrescente para crescente → mínimo local. Em (ponto de fronteira do intervalo) a função, para os pontos de seu domínio imediatamente à direita, decresce (logo é maior que valores próximos à direita) → é um máximo local relativo ao domínio. Em a função vem crescendo até o endpoint, e o valor em é maior que os valores à esquerda próximos → também é máximo local relativo ao domínio.
Resposta
Números críticos:
.
Máximos absolutos:
e
.
Mínimo absoluto:
.
Máximo(s) local(is):
e
(valor
).
Mínimo local:
(valor
).