Determine os números críticos e os extremos de
no intervalo dado:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar os números críticos de
no intervalo
e (2) identificar os extremos (locais e absolutos) de
nesse intervalo.
Informações dadas: a função é
definida no intervalo
. Não há outras restrições. Vou listar os pontos a checar: pontos internos onde
é zero ou não existe (números críticos) e também as bordas
e
, porque em um intervalo fechado extremos absolutos podem ocorrer nas bordas.
Passo 2
Lembra do que é número crítico? Um número
é crítico se
ou
não existe. Aqui
é polinômio, logo
existe em todo lugar; portanto os números críticos serão as soluções de
. Primeiro vamos calcular a derivada.
Passo 3
Calculemos a derivada de
.)
A regra: a derivada de é
. Aplicando termo a termo,
A regra: a derivada de
Expliquei: o termo
vira
e o termo
vira
.
Passo 4
Agora resolvemos
ou seja
Fatorando
(fator comum) obtemos
Para resolver isso, cada fator pode ser zero:
ou
.
Passo 5
Das equações fatoradas temos:
Como
são aproximadamente
, ambos estão dentro do intervalo
. Portanto os números críticos no intervalo são
Passo 6
Agora vamos classificar esses números críticos como máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão. Vou usar o teste da segunda derivada porque é direto para polinômios: se
então
é mínimo local; se
então
é máximo local; se
o teste é inconclusivo. Primeiro calculemos
.
Passo 7
Derivando
obtemos
Agora avaliamos
nos pontos críticos.
Passo 8
Avaliações:
- Em
:
logo
é um ponto de máximo local. O valor da função é
- Em
:
logo
são mínimos locais. Os valores da função são
Passo 9
Para extremos absolutos em
precisamos comparar os valores de
nos números críticos e nas extremidades
e
. Calculamos:
- Já temos
e - Em
:
- Em
:
Portanto os valores críticos a comparar são
.
Passo 10
Comparando os valores:
- O menor valor observado é
, que ocorre em . Logo esses pontos são mínimos absolutos no intervalo . - O maior valor observado é
, que ocorre em . Como estas são as bordas do intervalo, são máximos absolutos. - Além disso temos um máximo local em
com valor , mas não é máximo absoluto porque .
Resposta
Números críticos:
.
Extremos locais: máximo local em com
; mínimos locais em
com
.
Extremos absolutos em : mínimo absoluto em
com
; máximo absoluto em
com
.
Extremos locais: máximo local em
Extremos absolutos em