Determine os números críticos e os extremos de f no intervalo dado:
f(x)=x^{4}-4 x^{2}, \quad[-3,3] .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar os números críticos de f no intervalo [-3,3] e (2) identificar os extremos (locais e absolutos) de f nesse intervalo.
Informações dadas: a função é f(x)=x^{4}-4x^{2} definida no intervalo [-3,3]. Não há outras restrições. Vou listar os pontos a checar: pontos internos onde f' é zero ou não existe (números críticos) e também as bordas x=-3 e x=3, porque em um intervalo fechado extremos absolutos podem ocorrer nas bordas.

Passo 2

Lembra do que é número crítico? Um número c é crítico se f'\text{(c)}=0 ou f' não existe. Aqui f é polinômio, logo f' existe em todo lugar; portanto os números críticos serão as soluções de f'(x)=0. Primeiro vamos calcular a derivada.

Passo 3

Calculemos a derivada de \;f(x)=x^{4}-4x^{2}.)
A regra: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Aplicando termo a termo,
f'(x)=4x^{3}-8x.
Expliquei: o termo x^{4} vira 4x^{3} e o termo -4x^{2} vira -8x.

Passo 4

Agora resolvemos \;f'(x)=0, ou seja
4x^{3}-8x=0.
Fatorando 4x (fator comum) obtemos
4x(x^{2}-2)=0.
Para resolver isso, cada fator pode ser zero: 4x=0 ou x^{2}-2=0.

Passo 5

Das equações fatoradas temos:
  • 4x=0 \Rightarrow x=0.
  • x^{2}-2=0 \Rightarrow x^{2}=2 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2}.
Como \pm\sqrt{2} são aproximadamente \pm1{,}414, ambos estão dentro do intervalo [-3,3]. Portanto os números críticos no intervalo são
x=0,\quad x=\sqrt{2},\quad x=-\sqrt{2}.

Passo 6

Agora vamos classificar esses números críticos como máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão. Vou usar o teste da segunda derivada porque é direto para polinômios: se f''\text{(c)}>0 então c é mínimo local; se f''\text{(c)}<0 então c é máximo local; se f''\text{(c)}=0 o teste é inconclusivo. Primeiro calculemos f''(x).

Passo 7

Derivando f'(x)=4x^{3}-8x obtemos
f''(x)=12x^{2}-8.
Agora avaliamos f'' nos pontos críticos.

Passo 8

Avaliações:
  • Em x=0:
f''(0)=12\cdot 0^{2}-8=-8<0,
logo x=0 é um ponto de máximo local. O valor da função é
f(0)=0^{4}-4\cdot0^{2}=0.
  • Em x=\pm\sqrt{2}:
f''(\pm\sqrt{2})=12\cdot(\sqrt{2})^{2}-8=12\cdot 2-8=24-8=16>0,
logo x=\pm\sqrt{2} são mínimos locais. Os valores da função são
f(\pm\sqrt{2})=(\sqrt{2})^{4}-4(\sqrt{2})^{2}=4-8=-4.

Passo 9

Para extremos absolutos em [-3,3] precisamos comparar os valores de f nos números críticos e nas extremidades x=-3 e x=3. Calculamos:
  • Já temos f(0)=0 e f(\pm\sqrt{2})=-4.
  • Em x=3:
f(3)=3^{4}-4\cdot3^{2}=81-36=45.
  • Em x=-3:
f(-3)=(-3)^{4}-4\cdot(-3)^{2}=81-36=45.
Portanto os valores críticos a comparar são -4,\;0,\;45.

Passo 10

Comparando os valores:
  • O menor valor observado é -4, que ocorre em x=\pm\sqrt{2}. Logo esses pontos são mínimos absolutos no intervalo [-3,3].
  • O maior valor observado é 45, que ocorre em x=\pm 3. Como estas são as bordas do intervalo, são máximos absolutos.
  • Além disso temos um máximo local em x=0 com valor 0, mas não é máximo absoluto porque 45>0.

Resposta

Números críticos: x=0,\;x=\sqrt{2},\;x=-\sqrt{2}.
Extremos locais: máximo local em x=0 com f(0)=0; mínimos locais em x=\pm\sqrt{2} com f(\pm\sqrt{2})=-4.
Extremos absolutos em [-3,3]: mínimo absoluto em x=\pm\sqrt{2} com f(\pm\sqrt{2})=-4; máximo absoluto em x=\pm 3 com f(\pm 3)=45.

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