determine os números nos quais a função dada é contínua.
f(x)= \begin{cases}(x+2)^{2} & \text { se } x \leqslant 0 \\\ x^{2}+2 & \text { se } 0<x\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}(x+2)^{2} & \text{se } x \leqslant 0,\\[4pt] x^{2}+2 & \text{se } 0<x,\end{cases}
e pede: determinar os números (os pontos x) onde f é contínua.
Informações relevantes fornecidas:
  • Para todo x\leqslant 0, f(x)=(x+2)^2.
  • Para todo x>0, f(x)=x^2+2.
  • Não há outras restrições no enunciado (domínio aparente é todo \mathbb{R}).]

Passo 2

Definição e ideia-chave (aula rápida): dizer que f é contínua em um ponto a significa que o valor de f em a coincide com o limite de f(x) quando x tende a a. Formalmente:
\text{\(f\) é contínua em \(a\) se, e somente se, } \lim_{x\to a} f(x)=f(a).éí
Para que \lim_{x\to a} f(x) exista é necessário que as limitações laterais existam e sejam iguais:
\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x).
Se essas duas forem iguais e o valor comum for f(a), então f é contínua em a. Se as laterais não forem iguais, o limite bilateral não existe e f não é contínua em a.

Passo 3

Observação sobre as duas fórmulas: ambas as expressões (x+2)^2 e x^2+2 são polinômios ou combinações simples de polinômios. Propriedade importante (lembrando devagar): polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}. Isso porque operações de soma, produto e potência preservam limites e avaliação direta funciona (ou seja, \lim_{x\to a} p(x)=p(a) para qualquer polinômio p). Portanto, qualquer ponto interior de uma das regiões onde a mesma fórmula vale (por exemplo um ponto com x<0 ou x>0) não apresenta problema de continuidade.

Passo 4

Concluir continuidade para x<0: pegue um ponto arbitrário a com a<0. A função perto de a é dada por f(x)=(x+2)^2, um polinômio. Logo
\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} (x+2)^2=(a+2)^2=f(a).
Portanto f é contínua em todo ponto com x<0. Em notação de intervalo: contínua em (-\infty,0) (ainda falta checar 0 e x>0).

Passo 5

Concluir continuidade para x>0: pegue um ponto arbitrário b com b>0. Lá vale f(x)=x^2+2, também polinomial. Assim
\lim_{x\to b} f(x)=\lim_{x\to b} (x^2+2)=b^2+2=f(b).
Logo f é contínua em todo ponto com x>0. Em notação de intervalo: contínua em (0,\infty).

Passo 6

Verificação no ponto crítico x=0 (a tal “fronteira” entre as duas fórmulas). Precisamos calcular as duas limites laterais e comparar com f(0).
Cálculo do limite pela esquerda:
\lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^-} (x+2)^2=(0+2)^2=4.
Cálculo do limite pela direita:
\lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^+} (x^2+2)=0^2+2=2.
Valor da função em 0: pela definição a condição é x\leqslant 0 na primeira linha, então
f(0)=(0+2)^2=4.
Comparando: a esquerda dá 4 e a direita dá 2. As limitações laterais são diferentes, portanto \lim_{x\to 0} f(x) não existe. Consequência: f não é contínua em 0. Observação sobre o tipo: é uma descontinuidade do tipo salto (jump), porque os limites laterais são finitos e distintos.

Passo 7

Conclusão combinando os resultados dos passos anteriores: f é contínua em todo ponto onde cada ramo é aplicado isoladamente ( x<0 e x>0), e é descontínua no ponto de troca x=0 porque as limites laterais não coincidem.

Resposta

\text{A função é contínua em }(-\infty,0)\cup(0,\infty)\text{ e é descontínua em }0.çãéíéí

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