determine os números nos quais a função dada é contínua.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e pede: determinar os números (os pontos
) onde
é contínua.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Para todo
, . - Para todo
, . - Não há outras restrições no enunciado (domínio aparente é todo
).]
Passo 2
Definição e ideia-chave (aula rápida): dizer que
é contínua em um ponto
significa que o valor de
em
coincide com o limite de
quando
tende a
. Formalmente:
Para que
exista é necessário que as limitações laterais existam e sejam iguais:
Se essas duas forem iguais e o valor comum for
, então
é contínua em
. Se as laterais não forem iguais, o limite bilateral não existe e
não é contínua em
.
Passo 3
Observação sobre as duas fórmulas: ambas as expressões
e
são polinômios ou combinações simples de polinômios. Propriedade importante (lembrando devagar): polinômios são funções contínuas em todo
. Isso porque operações de soma, produto e potência preservam limites e avaliação direta funciona (ou seja,
para qualquer polinômio
). Portanto, qualquer ponto interior de uma das regiões onde a mesma fórmula vale (por exemplo um ponto com
ou
) não apresenta problema de continuidade.
Passo 4
Concluir continuidade para
: pegue um ponto arbitrário
com
. A função perto de
é dada por
, um polinômio. Logo
Portanto
é contínua em todo ponto com
. Em notação de intervalo: contínua em
(ainda falta checar
e
).
Passo 5
Concluir continuidade para
: pegue um ponto arbitrário
com
. Lá vale
, também polinomial. Assim
Logo
é contínua em todo ponto com
. Em notação de intervalo: contínua em
.
Passo 6
Verificação no ponto crítico
(a tal “fronteira” entre as duas fórmulas). Precisamos calcular as duas limites laterais e comparar com
.
Cálculo do limite pela esquerda:
Cálculo do limite pela direita:
Valor da função em
: pela definição a condição é
na primeira linha, então
Comparando: a esquerda dá
e a direita dá
. As limitações laterais são diferentes, portanto
não existe. Consequência:
não é contínua em
. Observação sobre o tipo: é uma descontinuidade do tipo salto (jump), porque os limites laterais são finitos e distintos.
Passo 7
Conclusão combinando os resultados dos passos anteriores:
é contínua em todo ponto onde cada ramo é aplicado isoladamente (
e
), e é descontínua no ponto de troca
porque as limites laterais não coincidem.