Qual é o trabalho máximo que pode ser obtido em um processo com escoamento estacionário a partir de 1 mol de nitrogênio (gás ideall a 900 k e 50 bar? Considere a temperatura e pressão da vizinhança como 300 K e 1,0133 bar.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Dado: 1\\ \text{mol} de nitrogênio, tratado como gás ideal, nas condições:
    • temperatura do gás: T = 900\\ \text{K},
    • pressão do gás: P = 50\\ \text{bar}.
  • Condições da vizinhança (estado morto / ambiente):
    • temperatura ambiente: T_{0} = 300\\ \text{K},
    • pressão ambiente: P_{0} = 1{,}0133\\ \text{bar}.
  • Pedido: qual é o trabalho máximo que pode ser obtido (isto é, a energia útil máxima extraível reversivelmente) a partir desse fluxo de 1\\ \text{mol} de nitrogênio, levando-o até o estado da vizinhança.

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (explicação didática e sem pular etapas).
  • O trabalho máximo extraível reversivelmente de um fluxo de gás que é levado ao equilíbrio com a vizinhança é a exergia de fluxo (exergia específica molar). Para um processo estacionário, desprezando energia cinética e potencial e sem mudança química, a exergia molar é dada por
\psi = (h - h_{0}) - T_{0}\,(s - s_{0}),
onde:
  • \psi é a exergia molar (energia útil máxima por mol),
  • h e s são a entalpia molar e entropia molar do gás no estado inicial (T,P),
  • h_{0} e s_{0} são a entalpia molar e entropia molar no estado morto da vizinhança (T_{0},P_{0}),
  • T_{0} é a temperatura da vizinhança (constante de referência para exergia).
  • Intuição: (h-h_{0}) é a energia térmica disponível por mol; subtrai-se a parte que não pode virar trabalho por causa da entropia relativa, T_{0}(s-s_{0}).

Passo 3

Simplificar a expressão para um gás ideal com calor específico molar constante.
  • Para um gás ideal e assumindo \bar c_{p} aproximadamente constante na faixa de temperatura considerada, vale:
h - h_{0} = \bar c_{p}\,(T - T_{0}).
  • A variação de entropia molar de um gás ideal entre (T_{0},P_{0}) e (T,P) é
s - s_{0} = \bar c_{p}\,\ln\!\left(\dfrac{T}{T_{0}}\right) - \bar R\,\ln\!\left(\dfrac{P}{P_{0}}\right),
onde \bar R é a constante dos gases ideais por mol ( \bar R = 8{,}314462618\\ \text{J}\!/\!\text{mol}\,\text{K}).
  • Substituindo essas expressões em \psi e fazendo as contas algébricas:
\begin{aligned} \psi &= \bar c_{p}(T - T_{0}) - T_{0}\Big[ \bar c_{p}\ln\!\left(\dfrac{T}{T_{0}}\right) - \bar R\ln\!\left(\dfrac{P}{P_{0}}\right)\Big] \\\ &= \bar c_{p}\Big(T - T_{0} - T_{0}\ln\!\left(\dfrac{T}{T_{0}}\right)\Big) + T_{0}\,\bar R\ln\!\left(\dfrac{P}{P_{0}}\right). \end{aligned}
Essa é a fórmula que vamos aplicar numericamente.

Passo 4

Escolha dos valores de constantes e justificativa (didática).
  • Usarei a constante dos gases molar: \bar R = 8{,}314462618\\ \text{J}\!/\!\text{mol}\,\text{K}.
  • Para o nitrogênio (molécula diatômica) a aproximação usual em muitos problemas é tomar calor molar a pressão constante \bar c_{p} \approx \dfrac{7}{2}\,\bar R = 3{,}5\,\bar R,porque para um gás diatômico sem excitação vibracional c_{v} = \tfrac{5}{2}\bar R e c_{p} = c_{v} + \bar R = \tfrac{7}{2}\bar R.
    • Isso dá numericamente
    \bar c_{p} = 3{,}5\times 8{,}314462618 = 29{,}1006\\ \text{J}\!/\!\text{mol}\,\text{K}\\ (\text{aprox. }29{,}10).
  • Observação didática: a temperatura 900\\ \text{K} pode ativar modos vibracionais e alterar um pouco c_{p}, mas para um cálculo de prova sem tabela detalhada esta aproximação é a esperada. Se for necessário mais precisão, usaria c_{p}(T) tabulado.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo (sem pular contas).
  • Primeiro calcule os logaritmos: \dfrac{T}{T_{0}}=\dfrac{900}{300}=3,\qquad \ln\!\left(\dfrac{T}{T_{0}}\right)=\ln 3 = 1{,}0986122887\ldots
\dfrac{P}{P_{0}}=\dfrac{50}{1{,}0133}\approx 49{,}367938,\qquad \ln\!\left(\dfrac{P}{P_{0}}\right)\approx 3{,}898774.
(Usei a pressão tal como dada em bar; a razão P/P_{0} é adimensional.)
  • Agora calcule a primeira parcela: \begin{aligned} \bar c_{p}\Big(T - T_{0} - T_{0}\ln\!\left(\dfrac{T}{T_{0}}\right)\Big) &= 29{,}1006\big(900 - 300 - 300\cdot 1{,}0986122887\big) \\\ &= 29{,}1006\big(600 - 329{,}5836866\big) \\\ &= 29{,}1006\times 270{,}4163134 \\\ &\approx 7\,869{,}3\\ \text{J (aprox.)}. \end{aligned}
  • Em seguida a segunda parcela: T_{0}\,\bar R\ln\!\left(\dfrac{P}{P_{0}}\right) = 300\times 8{,}314462618\times 3{,}898774 \approx 9\,720{,}5\\ \text{J (aprox.)}.
  • Somando as duas contribuições: \psi \approx 7\,869{,}3 + 9\,720{,}5 = 17\,589{,}8\\ \text{J}\\ \text{por mol}.

Passo 6

Interpretação final e observações (didática curta e motivadora).
  • Resultado: a exergia molar calculada representa o trabalho máximo reversível que pode ser extraído por mol de nitrogênio ao trazê-lo ao estado da vizinhança T_{0},P_{0}, desprezando energia cinética e potencial e assumindo calor específico constante.
  • Observação prática: na realidade irreversibilidades (fricção, perdas de mistura, não-reversibilidade dos dispositivos) reduzem o trabalho obtido; portanto \psi é um limite superior (ideal).
  • Você conseguiu: aplicamos a fórmula da exergia, escrevemos as expressões para h e s de um gás ideal e fizemos as contas com cuidado — isso é exatamente o tipo de raciocínio pedido em provas de termodinâmica de exergia / processos stationários. Força aí!

Resposta

\displaystyle W_{\text{máx}} \approx 1{,}759\times 10^{4}\\ \text{J} \approx 17{,}6\\ \text{kJ}á

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