determine os números nos quais a função dada é contínua.
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{x+1} & \text { se } x<4 \\\ \sqrt{x-4} & \text { se } 4 \leqslant x\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}\dfrac{1}{x+1} & \text{se } x<4,\\[6pt] \sqrt{x-4} & \text{se } x\ge 4, \end{cases}
e pede: determinar os números em que f é contínua.
Informações relevantes dadas:
  • Para x<4 a fórmula é \dfrac{1}{x+1}.
  • Para x\ge 4 a fórmula é \sqrt{x-4}.
  • É preciso analisar continuidade em todos os pontos do eixo real, com atenção especial em pontos onde a definição muda (aqui x=4) e onde alguma fórmula pode deixar de estar definida (por exemplo denominador zero).]

Passo 2

Lembrete do conceito que vamos usar (explicado de forma clara):
  • Dizemos que f é contínua em um ponto a se e somente se todos estes três itens são verdadeiros:
    1. f(a) está definido;
    2. \displaystyle\lim_{x\to a} f(x) existe;
    3. \displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Quando a é um ponto de fronteira do domínio (por exemplo o menor ponto de um intervalo), usamos os limites laterais apropriados. Em particular, para decidir continuidade em x=4 teremos que comparar o limite pela esquerda \lim_{x\to4^-}f(x) e o limite pela direita \lim_{x\to4^+}f(x) com o valor f(4).

Passo 3

Determinar o domínio (onde f está definida):
  • A expressão \dfrac{1}{x+1} não está definida em x=-1 (divisão por zero). Essa expressão vale para x<4, logo entre esses x todos estão no domínio exceto x=-1.
  • A expressão \sqrt{x-4} está definida para x\ge 4.
    Portanto o domínio total de f é
\text{dom}(f)=(-\infty,4)\setminus\{-1\}\\ \cup\\ [4,\infty)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}.

Passo 4

Continuidades óbvias por peças (ensinando por que):
  • A função g(x)=\dfrac{1}{x+1} é uma função racional. Regra prática: funções racionais são contínuas em todos os pontos onde estão definidas. Assim g é contínua para todo x tal que x\neq-1. Restrita ao intervalo (-\infty,4) (excluindo -1) ela é contínua em cada ponto desse intervalo.
  • A função h(x)=\sqrt{x-4} é uma função raíz quadrada deslocada. Regra prática: a função \sqrt{t} é contínua para t\ge 0. Logo h é contínua para todo x\ge 4. Em particular é contínua em todos os pontos de (4,\infty) e tem um comportamento à direita em x=4.
Conclusão provisória: todos os pontos do domínio, exceto possivelmente pontos de transição ou pontos onde alguma expressão falha, são candidatos a continuidade. Sobram verificar especialmente x=-1 (por definição) e x=4 (ponto de mudança de ramo).

Passo 5

Análise em x=-1:
  • Pelo item 1 da definição de continuidade, se f(-1) não está definido então f não pode ser contínua em -1.
  • Aqui f(-1) não está definido porque a expressão para x<4 \dfrac{1}{-1+1}=\dfrac{1}{0}, impossível.
    Logo f é descontinua em x=-1.

Passo 6

Análise em x=4 (passo a passo, com cálculo dos limites e do valor):
  • Primeiro o valor de f em 4 (se está definido): como 4\ge 4 usa-se o segundo ramo, então
f(4)=\sqrt{4-4}=\sqrt{0}=0.
  • Limite pela esquerda \lim_{x\to4^-}f(x): quando x<4 usamos \dfrac{1}{x+1}. Como função racional contínua onde definida, o limite ao aproximar x de 4 pela esquerda é simplesmente a substituição x\mapsto 4:
\lim_{x\to4^-}f(x)=\lim_{x\to4^-}\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{4+1}=\dfrac{1}{5}.
  • Limite pela direita \lim_{x\to4^+}f(x): quando x>4 usamos \sqrt{x-4}. De novo, essa função é contínua à direita, então
\lim_{x\to4^+}f(x)=\lim_{x\to4^+}\sqrt{x-4}=\sqrt{4-4}=0.
  • Comparação: \lim_{x\to4^-}f(x)=\dfrac{1}{5} e \lim_{x\to4^+}f(x)=0. Como os dois limites laterais são diferentes, o limite \lim_{x\to4}f(x) não existe. Mesmo que f(4)=0 coincida com o limite pela direita, a ausência de limite total implica que f não é contínua em 4.

Passo 7

Conclusão final sobre continuidade (resumindo e com explicação final curta):
  • Para todo x<4 diferente de -1, a função é contínua (é a função racional onde definida).
  • Para todo x>4, a função é contínua (é a raiz quadrada deslocada).
  • Em x=-1 não está definida → descontinuidade.
  • Em x=4 os limites laterais não coincidem → descontinuidade.
Portanto f é contínua em todos os pontos reais exceto em x=-1 e x=4.

Resposta

(-\infty,-1)\cup(-1,4)\cup(4,\infty)

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