e pede: determinar os números em que f é contínua.
Informações relevantes dadas:
Para x<4 a fórmula é \dfrac{1}{x+1}.
Para x\ge 4 a fórmula é \sqrt{x-4}.
É preciso analisar continuidade em todos os pontos do eixo real, com atenção especial em pontos onde a definição muda (aqui x=4) e onde alguma fórmula pode deixar de estar definida (por exemplo denominador zero).]
Passo 2
Lembrete do conceito que vamos usar (explicado de forma clara):
Dizemos que f é contínua em um ponto a se e somente se todos estes três itens são verdadeiros:
f(a) está definido;
\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) existe;
\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Quando a é um ponto de fronteira do domínio (por exemplo o menor ponto de um intervalo), usamos os limites laterais apropriados. Em particular, para decidir continuidade em x=4 teremos que comparar o limite pela esquerda \lim_{x\to4^-}f(x) e o limite pela direita \lim_{x\to4^+}f(x) com o valor f(4).
Passo 3
Determinar o domínio (onde f está definida):
A expressão \dfrac{1}{x+1} não está definida em x=-1 (divisão por zero). Essa expressão vale para x<4, logo entre esses x todos estão no domínio exceto x=-1.
A expressão \sqrt{x-4} está definida para x\ge 4.
Portanto o domínio total de f é
Continuidades óbvias por peças (ensinando por que):
A função g(x)=\dfrac{1}{x+1} é uma função racional. Regra prática: funções racionais são contínuas em todos os pontos onde estão definidas. Assim g é contínua para todo x tal que x\neq-1. Restrita ao intervalo (-\infty,4) (excluindo -1) ela é contínua em cada ponto desse intervalo.
A função h(x)=\sqrt{x-4} é uma função raíz quadrada deslocada. Regra prática: a função \sqrt{t} é contínua para t\ge 0. Logo h é contínua para todo x\ge 4. Em particular é contínua em todos os pontos de (4,\infty) e tem um comportamento à direita em x=4.
Conclusão provisória: todos os pontos do domínio, exceto possivelmente pontos de transição ou pontos onde alguma expressão falha, são candidatos a continuidade. Sobram verificar especialmente x=-1 (por definição) e x=4 (ponto de mudança de ramo).
Passo 5
Análise em x=-1:
Pelo item 1 da definição de continuidade, se f(-1) não está definido então f não pode ser contínua em -1.
Aqui f(-1) não está definido porque a expressão para x<4 dá \dfrac{1}{-1+1}=\dfrac{1}{0}, impossível.
Logo f é descontinua em x=-1.
Passo 6
Análise em x=4 (passo a passo, com cálculo dos limites e do valor):
Primeiro o valor de f em 4 (se está definido): como 4\ge 4 usa-se o segundo ramo, então
f(4)=\sqrt{4-4}=\sqrt{0}=0.
Limite pela esquerda \lim_{x\to4^-}f(x): quando x<4 usamos \dfrac{1}{x+1}. Como função racional contínua onde definida, o limite ao aproximar x de 4 pela esquerda é simplesmente a substituição x\mapsto 4:
Comparação: \lim_{x\to4^-}f(x)=\dfrac{1}{5} e \lim_{x\to4^+}f(x)=0. Como os dois limites laterais são diferentes, o limite \lim_{x\to4}f(x) não existe. Mesmo que f(4)=0 coincida com o limite pela direita, a ausência de limite total implica que f não é contínua em 4.
Passo 7
Conclusão final sobre continuidade (resumindo e com explicação final curta):
Para todo x<4 diferente de -1, a função é contínua (é a função racional onde definida).
Para todo x>4, a função é contínua (é a raiz quadrada deslocada).
Em x=-1 não está definida → descontinuidade.
Em x=4 os limites laterais não coincidem → descontinuidade.
Portanto f é contínua em todos os pontos reais exceto em x=-1 e x=4.