Determine os números reais que satisfazem as seguintes desigualdades:
\left|\frac{2+x}{3-x}\right|>4

Passo 1

O enunciado pede os x\in\mathbb{R} tais que
\left|\frac{x+2}{3-x}\right|>4.
O conteúdo aqui é inequação com valor absoluto de uma expressão racional. Vamos usar a definição
|A|>4\quad\Longleftrightarrow\quad A>4\quad\text{ou}\quad A<-4,
lembrando de excluir o ponto em que o denominador 3-x se anula x=3.

Passo 2

Aplicando a definição de valor absoluto, obtemos as duas inequações
\frac{x+2}{3-x}>4 \quad\text{ou}\quad \frac{x+2}{3-x}< -4.
Cada uma dessas deve ser resolvida considerando os dois possíveis sinais do denominador 3-x.

Passo 3

Resolver \displaystyle\frac{x+2}{3-x}>4.
  • Se 3-x>0 (isto é, x<3), multiplica-se sem inverter o sinal:
x+2>4(3-x) \;\Longrightarrow\; x+2>12-4x \;\Longrightarrow\; 5x>10 \;\Longrightarrow\; x>2.
Com x<3 e x>2, segue 2<x<3.
  • Se 3-x<0 (isto é, x>3), ao multiplicar inverte-se o sinal:
x+2<4(3-x) \;\Longrightarrow\; x+2<12-4x \;\Longrightarrow\; 5x<10 \;\Longrightarrow\; x<2,
mas isso não é compatível com x>3. Logo, desta parte não vem solução.
Portanto, da primeira inequação obtemos
x\in(2,3).

Passo 4

Resolver \displaystyle\frac{x+2}{3-x}< -4.
  • Se 3-x>0 x<3, multiplica-se sem inverter o sinal:
x+2< -4(3-x) \;\Longrightarrow\; x+2< -12+4x \;\Longrightarrow\; -3x< -14 \;\Longrightarrow\; x> \tfrac{14}{3},
mas isso contraria x<3. Sem solução aqui.
  • Se 3-x<0 x>3, multiplica-se invertendo o sinal:
x+2> -4(3-x) \;\Longrightarrow\; x+2> -12+4x \;\Longrightarrow\; -3x> -14 \;\Longrightarrow\; x< \tfrac{14}{3},
compatível com x>3, daí 3<x<\tfrac{14}{3}.
Portanto, da segunda inequação obtemos
x\in\bigl(3,\tfrac{14}{3}\bigr).

Passo 5

Unindo as soluções das duas inequações e excluindo o ponto x=3, bem como os pontos em que a desigualdade vira igualdade x=2 e x=\tfrac{14}{3}, temos
x\in(2,3)\;\cup\;\Bigl(3,\tfrac{14}{3}\Bigr).

Resposta

\boxed{x\in(2,3)\cup\bigl(3,\tfrac{14}{3}\bigr).}

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