Determine os números reais que satisfazem as seguintes desigualdades:
\left|\frac{7-2 x}{5+3 x}\right| \leq \frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
\left|\frac{7-2x}{5+3x}\right|\le \frac12
que é uma inequação com valor absoluto de uma função racional. Vamos usar a ideia de que, para números reais,
|A|\le |B|\quad\Longleftrightarrow\quad A^2\le B^2,
sempre lembrando que precisamos excluir o ponto em que o denominador fica zero, isto é, 5+3x\neq0.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados de \displaystyle \left|\frac{7-2x}{5+3x}\right|\le \tfrac12
por 2 e pelos módulos apropriados, obtendo
2\,\bigl|7-2x\bigr|\;\le\;\bigl|5+3x\bigr|.

Passo 3

Elevamos os dois lados ao quadrado (já que ambos são não-negativos) para eliminar os módulos:
4\,(7-2x)^2 \;\le\;(5+3x)^2.

Passo 4

Expandimos e trazemos tudo para o lado esquerdo:
4\bigl(49-28x+4x^2\bigr)\le 25+30x+9x^2 \quad\Longrightarrow\quad 196-112x+16x^2\le 25+30x+9x^2
\Longrightarrow\quad 16x^2-9x^2-112x-30x+196-25\le0 \quad\Longrightarrow\quad 7x^2-142x+171\le0.

Passo 5

Calculamos as raízes do polinômio 7x^2-142x+171: o discriminante é
\Delta =(-142)^2-4\cdot7\cdot171=15376=(124)^2,
logo as soluções de 7x^2-142x+171=0 são
x=\frac{142\pm124}{14} \;\Longrightarrow\; x_1=\frac{18}{14}=\frac{9}{7}, \quad x_2=\frac{266}{14}=\frac{133}{7}=19.
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a desigualdade 7x^2-142x+171\le0 vale para
\frac{9}{7}\;\le\;x\;\le\;19.

Passo 6

Resta verificar o domínio original: precisamos de 5+3x\neq0, ou seja, x\neq -\tfrac53. Como -\tfrac53 não está no intervalo [\tfrac97,19], não há exclusão adicional.

Resposta

\boxed{x\in\left[\frac{9}{7},\,19\right].}

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