Determine os números reais que satisfazem as seguintes desigualdades:
\left|\frac{3-2 x}{1+x}\right| \leq 4

Passo 1

O enunciado pede os x\in\mathbb{R} tais que
\left|\frac{3-2x}{1+x}\right|\le4.
É uma inequação racional com valor absoluto. Para resolver, vamos cuidar primeiro do domínio (denominador não pode anular) e depois eliminar o valor absoluto elevando ao quadrado, o que nos leva a uma inequação quadrática.

Passo 2

O denominador não pode ser zero, logo
1+x\neq0 \quad\Longrightarrow\quad x\neq -1.
Como 4\ge0, podemos escrever
\left|\frac{3-2x}{1+x}\right|\le4 \quad\Longleftrightarrow\quad \biggl(\frac{3-2x}{1+x}\biggr)^2 \le 4^2 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{(3-2x)^2}{(1+x)^2}\le16.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (1+x)^2>0 (pois já excluímos x=-1), vem
(3-2x)^2 \le 16\,(1+x)^2.
Agora desenvolvendo os quadrados:
9 -12x +4x^2 \;\le\;16 +32x +16x^2 \quad\Longrightarrow\quad 4x^2 -12x +9 -16x^2 -32x -16 \le0
-12x^2 -44x -7 \le0.

Passo 4

Multiplicando por -1 e invertendo o sinal da desigualdade,
12x^2 +44x +7 \ge 0.
As raízes da equação 12x^2+44x+7=0 são
x = \frac{-44\pm\sqrt{44^2 -4\cdot12\cdot7}}{24} =\frac{-44\pm40}{24},
isto é, x=-\tfrac{7}{2} e x=-\tfrac{1}{6}. Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima e a inequação \ge0 vale para
x\le -\tfrac{7}{2} \quad\text{ou}\quad x\ge -\tfrac{1}{6}.

Resposta

x\in(-\infty,\,-\tfrac{7}{2}]\;\cup\;[-\tfrac{1}{6},\,\infty).

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