13.1 Sabendo que
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x=\pi
construa uma sequência delta baseada no integrando.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}
com
\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=\pi
e pede uma sequência \{\delta_{n}\} do tipo “delta de Dirac” baseada em f. Para ser uma sequência delta, precisamos que cada \delta_{n} satisfaça
  1. \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\delta_{n}(x)\,\mathrm{d}x=1,
  2. \delta_{n}(x)\to 0 para todo x\neq0 quando n\to\infty,
  3. a massa de \delta_{n} fique cada vez mais concentrada em x=0.

Passo 2

Primeiro normalizamos f para que sua integral seja 1. Definimos
g(x)=\frac{1}{\pi}\,f(x)=\frac{1}{\pi\,(1+x^{2})},
pois então
\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^{2}}\,\mathrm{d}x =\frac{1}{\pi}\,\pi =1.

Passo 3

Para concentrar a massa em x=0 e manter a integral igual a 1, usamos a dilatação x\mapsto nx. Assim definimos
\delta_{n}(x)=n\,g(n\,x) =n\,\frac{1}{\pi\,[1+(n\,x)^{2}]} =\frac{n}{\pi\,(1+n^{2}x^{2})}.
Verificamos que
\int_{-\infty}^{+\infty}\delta_{n}(x)\,\mathrm{d}x =n\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\pi\,(1+n^{2}x^{2})}\,\mathrm{d}x =\frac{n}{\pi}\cdot\frac{1}{n}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+u^{2}}\,\mathrm{d}u =1,
onde fizemos u=nx. Para x\neq0, \delta_{n}(x)\to0 quando n\to\infty, e a massa se concentra em torno de 0, caracterizando sequência delta.

Resposta

\boxed{\delta_{n}(x)=\frac{n}{\pi\,(1+n^{2}x^{2})}.}

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