Determine os números reais x e y tais que 2 x-3 y i+4 i x-2 y-5-10 i=(x+y+2)-(y-x+3) i

Passo 1

Nesse exercício temos a igualdade entre dois números complexos, então o conteúdo é igualdade de partes real e imaginária e vamos precisar separar cada lado em parte real e parte imaginária para depois igualar e resolver um sistema para achar x e y.

Passo 2

No lado esquerdo da igualdade podemos agrupar os termos reais e imaginários da seguinte forma:
2x - 3yi + 4ix - 2y - 5 - 10i = (2x - 2y - 5) + i(4x - 3y - 10)
No lado direito da igualdade reescrevemos também como parte real mais parte imaginária:
(x + y + 2) - (y - x + 3)i = (x + y + 2) + i(-y + x - 3)

Passo 3

Agora igualamos as partes reais e as partes imaginárias para montar um sistema:
2x - 2y - 5 = x + y + 2, 4x - 3y - 10 = x - y - 3

Passo 4

Resolvendo o sistema, da primeira equação vem
x - 3y = 7
e da segunda
3x - 2y = 7
Da primeira isolamos x = 7 + 3y e substituímos na segunda: 3(7+3y) - 2y = 7 ⇒ 21 + 9y - 2y = 7 ⇒ 7y = -14 ⇒ y = -2. Logo x = 7 + 3(−2) = 1.

Passo 5

Substituindo confirmou-se que x=1 e y=-2 satisfazem ambas as equações, resolvendo a igualdade complexa.

Resposta

x = 1, y = -2

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