Exercício 3: Encontre y^prime e y^prime prime
y=e^a x sen(b x).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas primeira e segunda de y = e^axsin(bx). O conteúdo envolvido é a regra do produto e a regra da cadeia, pois temos o produto de e^ax por sin(bx) e cada fator depende de x.

Passo 2

Para achar a primeira derivada y', aplicamos a regra do produto: se y = ucdot v, então y' = u'v + uv'. Aqui u = e^ax e v = sin(bx). Temos
u' = ddxe^ax = a e^ax, v' = ddxsin(bx) = bcos(bx)

Passo 3

Substituindo em y' = u'v + uv' e fatorando e^ax, obtemos
y' = a e^axsin(bx) + e^ax,bcos(bx) = e^axl(asin(bx) + bcos(bx)r)

Passo 4

Para achar a segunda derivada y'', derivamos y' = e^axl(asin(bx) + bcos(bx)r) novamente usando a regra do produto. Seja U = e^ax e V = asin(bx) + bcos(bx). Então
U' = a e^ax,
V' = a,bcos(bx) + b,(-b)sin(bx) = abcos(bx) - b^2sin(bx)

Passo 5

Logo,
y'' = U'V + UV' = a e^axl(asin(bx) + bcos(bx)r) + e^axl(abcos(bx) - b^2sin(bx)r)

Passo 6

Fatorando e^ax e agrupando termos semelhantes, fica
y'' = e^axl((a^2 - b^2)sin(bx) + 2abcos(bx)r)

Resposta

y' = e^axl(asin(bx) + bcos(bx)r), y'' = e^axl((a^2 - b^2)sin(bx) + 2abcos(bx)r).

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