Determine em quais números a seguinte função g é diferenciável e em quais não.
g(x)=ll -(1+2 x) & se x<-1 x^2 & se -1 <= x <= 1 2 x+1 & se x>1

Passo 1

O enunciado pede para determinar onde a função por partes
g(x)= -(1+2x), & x< -1, x^2, & -1<= x<= 1, 2x+1, & x>1
é diferenciável. O conteúdo envolvido é derivada de funções por partes, e vamos precisar usar conceitos de continuidade e igualdade de derivadas laterais nos pontos de junção.

Passo 2

Em cada intervalo em que a fórmula de g é única (isto é, x<−1, −1<x<1 e x>1), g é composta de funções polinomiais (linear ou quadrática), que são diferenciáveis em todo ponto interno ao intervalo. Logo, g é diferenciável em (-∞, -1), (-1, 1) e (1, ∞).

Passo 3

No ponto x=−1, primeiro verificamos continuidade: da esquerda
limxto(-1)^-g(x)=-(1+2(-1))=1
e da direita
limxto(-1)^+g(x)=(-1)^2=1,
além de g(−1)=1. Portanto continua. As derivadas laterais sao
g'-(−1)=ddx[−(1+2x)]=−2,
g'+(−1)=ddx[x^2]g|x=-1=2x|x=-1=-2
Como coincidem (−2=−2), g é diferenciável em x=−1.

Passo 4

No ponto x=1, vemos da esquerda
limxto1^-g(x)=1^2=1
e da direita
limxto1^+g(x)=2cdot1+1=3
Como 1≠3, g não é contínua em x=1 e, portanto, não pode ser diferenciável ali.

Resposta

A função g é diferenciável para todo x∈ℝ, exceto em x=1.

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