Determine em quais números a seguinte função
é diferenciável e em quais não.
Passo 1
O enunciado pede para determinar onde a função por partes
é diferenciável. O conteúdo envolvido é derivada de funções por partes, e vamos precisar usar conceitos de continuidade e igualdade de derivadas laterais nos pontos de junção.
Passo 2
Em cada intervalo em que a fórmula de g é única (isto é, x<−1, −1<x<1 e x>1), g é composta de funções polinomiais (linear ou quadrática), que são diferenciáveis em todo ponto interno ao intervalo. Logo, g é diferenciável em (-∞, -1), (-1, 1) e (1, ∞).
Passo 3
No ponto x=−1, primeiro verificamos continuidade: da esquerda
e da direita
além de g(−1)=1. Portanto continua. As derivadas laterais sao
Como coincidem (−2=−2), g é diferenciável em x=−1.
Passo 4
No ponto x=1, vemos da esquerda
e da direita
Como 1≠3, g não é contínua em x=1 e, portanto, não pode ser diferenciável ali.
Resposta
A função g é diferenciável para todo x∈ℝ, exceto em x=1.