Calcule a derivada f^prime da função f a seguir. (Não precisa dizer em que pontos a função f^prime é definida.) f(x)=x cos (x)-2 x+1x^4+x^2+1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=xcos x - 2x+1x^4+x^2+1. O conteúdo envolvido é a regra do produto (para xcos x) e a regra do quociente (para a fração).

Passo 2

Para derivar xcos x usamos a regra do produto: seja u(x)=x e v(x)=cos x, então u'(x)=1 e v'(x)=-sin x. Assim, temos
ddxl(xcos xr)=u'v+uv'=1cdotcos x + xcdot(-sin x)=cos x - xsin x

Passo 3

Para derivar g(x)=2x+1x^4+x^2+1 aplicamos a regra do quociente: seja u(x)=2x+1 e v(x)=x^4+x^2+1. Então u'(x)=2 e v'(x)=4x^3+2x. Logo,
g'(x)=u'v-uv'v^2=2(x^4+x^2+1)-(2x+1)(4x^3+2x)(x^4+x^2+1)^2
Calculando o numerador:
2x^4+2x^2+2 - (8x^4+4x^2+4x^3+2x) = -6x^4-4x^3-2x^2-2x+2
Portanto
g'(x)=-6x^4-4x^3-2x^2-2x+2(x^4+x^2+1)^2

Passo 4

Como f(x)=xcos x - g(x), a derivada é
f'(x)=ddx(xcos x)-g'(x)=l(cos x - xsin xr)--6x^4-4x^3-2x^2-2x+2(x^4+x^2+1)^2

Resposta

f'(x)=cos x - xsin x - -6x^4-4x^3-2x^2-2x+2(x^4+x^2+1)^2

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