Questão 4. (3,0) Calcule as derivadas das seguintes funções:
(1,0) f(x)=sen(x) cdot ln (cos (x)+raizx^2+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função que combina funções trigonométricas e logarítmicas. Especificamente, queremos calcular a derivada da função:
f(x) = sin(x) cdot ln(cos(x) + raizx^2 + 1)
Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Produto e a Regra da Cadeia. A Regra do Produto é usada quando temos duas funções multiplicadas, e a Regra da Cadeia é necessária para derivar funções compostas, como o logaritmo aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Regra do Produto. Essa regra nos diz que a derivada de duas funções multiplicadas é:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Aqui, podemos identificar:
  • $ u(x) = \sin(x) $
  • $ v(x) = \ln\left(\cos(x) + \sqrt{x^{2} + 1}\right) $
Então, precisamos encontrar $ u’(x) $ e $ v’(x) $.

Passo 3

Vamos derivar $ u(x) = \sin(x) $.
A derivada de $ \sin(x) $ é $ \cos(x) $. Portanto:
u(x) = sin(x)

Passo 4

Agora, vamos derivar $ v(x) = \ln\left(\cos(x) + \sqrt{x^{2} + 1}\right) $.
Aqui, usamos a Regra da Cadeia, que nos diz que a derivada de $ \ln(g(x)) $ é $ \frac{g’(x)}{g(x)} $.
Então, identificamos:
  • $ g(x) = \cos(x) + \sqrt{x^{2} + 1} $
Precisamos primeiro derivar $ g(x) $.

Passo 5

Derivando $ g(x) = \cos(x) + \sqrt{x^{2} + 1} $:
  • A derivada de $ \cos(x) $ é $ -\sin(x) $.
  • A derivada de $ \sqrt{x^{2} + 1} $ é $ \frac{1}{2}(x^{2} + 1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} $.
Então,
g(x) = cos(x) + raizx^2 + 1

Passo 6

Voltando à derivada de $ v(x) $:
v(x)

Passo 7

Agora que temos $ u’(x) $, $ u(x) $, e $ v’(x) $, vamos aplicar a Regra do Produto:
u'(x)
Substituindo:
u(x)

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = cos(x) cdot ln(cos(x) + raizx^2 + 1) + sin(x) cdot ( -sin(x) + dfracxraizx^2 + 1cos(x) + raizx^2 + 1 )

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