Questão 4.
Calcule as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função que combina funções trigonométricas e logarítmicas. Especificamente, queremos calcular a derivada da função:
Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Produto e a Regra da Cadeia. A Regra do Produto é usada quando temos duas funções multiplicadas, e a Regra da Cadeia é necessária para derivar funções compostas, como o logaritmo aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Regra do Produto. Essa regra nos diz que a derivada de duas funções multiplicadas é:
Aqui, podemos identificar:
- $ u(x) = \sin(x) $
- $ v(x) = \ln\left(\cos(x) + \sqrt{x^{2} + 1}\right) $
Então, precisamos encontrar $ u’(x) $ e $ v’(x) $.
Passo 3
Vamos derivar $ u(x) = \sin(x) $.
A derivada de $ \sin(x) $ é $ \cos(x) $. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos derivar $ v(x) = \ln\left(\cos(x) + \sqrt{x^{2} + 1}\right) $.
Aqui, usamos a Regra da Cadeia, que nos diz que a derivada de $ \ln(g(x)) $ é $ \frac{g’(x)}{g(x)} $.
Então, identificamos:
- $ g(x) = \cos(x) + \sqrt{x^{2} + 1} $
Precisamos primeiro derivar $ g(x) $.
Passo 5
Derivando $ g(x) = \cos(x) + \sqrt{x^{2} + 1} $:
- A derivada de $ \cos(x) $ é $ -\sin(x) $.
- A derivada de $ \sqrt{x^{2} + 1} $ é $ \frac{1}{2}(x^{2} + 1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} $.
Então,
Passo 6
Voltando à derivada de $ v(x) $:
Passo 7
Agora que temos $ u’(x) $, $ u(x) $, e $ v’(x) $, vamos aplicar a Regra do Produto:
Substituindo:
Resposta
A derivada da função é: