Determine onde a função
é crescente.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar onde ela é crescente. Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita da função é
. - A pergunta é: “onde a função é crescente?” (ou seja, em quais valores de
a função aumenta quando aumenta).
Passo 2
Primeiro vamos esclarecer o que significa “crescente”. Existem duas noções próximas que vou explicar:
- Dizemos que
é estritamente crescente em um intervalo quando, para quaisquer com , vale . - Dizemos que
é não decrescente (ou apenas “crescente” no sentido fraco) em quando, para quaisquer com , vale .
Vou indicar depois a diferença entre essas duas noções para a nossa função.
Passo 3
Ferramenta prática (explicada passo a passo): usar a derivada para testar monotonicidade. Ideia simples: a derivada
indica a taxa de variação instantânea de
em
. Regras básicas usadas:
- Derivada de
é . - Derivada de
(com constante) é .
Aplicando essas regras à nossa função:
calculamos a derivada:
Aqui
representa a inclinação da curva em cada ponto
.
Passo 4
Critério de monotonicidade com derivada (intuição):
- Se
para todos em um intervalo , então é estritamente crescente em . - Se
para todos em , então é não decrescente em .
Portanto, vamos estudar o sinal de.
Passo 5
Resolver a desigualdade
:
Resolver a desigualdade
:
Conclusão imediata: a derivada é positiva para
e é zero em
.
Passo 6
Interpretação prática:
- Como
quando , a função é estritamente crescente no intervalo . - Como
quando , a função é não decrescente em ; a igualdade significa apenas que a inclinação naquele ponto é zero (vértice), não que a função deixei de aumentar depois de .
Passo 7
Verificação alternativa (sem derivada), por completamento do quadrado — serve para entender geometricamente:
Isso mostra que a parábola tem vértice em
(valor mínimo
) e abre para cima. Logo, para
a função decresce ao aproximar-se de
e para
a função cresce ao afastar-se de
. Isso confirma que a função cresce para
.
Passo 8
Exemplo numérico rápido para intuição:
Vê-se que de
para
os valores diminuem (de
para
) e, depois de
, os valores aumentam (de
para
e
). Portanto
é o ponto de mínima e a função cresce para a direita de
.
Resposta
A função é estritamente crescente em
.
A função é não decrescente (crescente no sentido fraco) em .
A função é não decrescente (crescente no sentido fraco) em