Determine onde a função
f(x)=x^{2}-4 x
é crescente.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{2}-4x
e pede para determinar onde ela é crescente. Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita da função é \;f(x)=x^{2}-4x.
  • A pergunta é: “onde a função é crescente?” (ou seja, em quais valores de x a função aumenta quando x aumenta).

Passo 2

Primeiro vamos esclarecer o que significa “crescente”. Existem duas noções próximas que vou explicar:
  • Dizemos que f é estritamente crescente em um intervalo I quando, para quaisquer x_{1},x_{2}\in I com x_{1}<x_{2}, vale \;f(x_{1})<f(x_{2}).
  • Dizemos que f é não decrescente (ou apenas “crescente” no sentido fraco) em I quando, para quaisquer x_{1},x_{2}\in I com x_{1}<x_{2}, vale \;f(x_{1})\le f(x_{2}).
    Vou indicar depois a diferença entre essas duas noções para a nossa função.

Passo 3

Ferramenta prática (explicada passo a passo): usar a derivada para testar monotonicidade. Ideia simples: a derivada \;f'(x) indica a taxa de variação instantânea de f em x. Regras básicas usadas:
  • Derivada de \;x^{n} é \;n x^{n-1}.
  • Derivada de \;a x (com a constante) é \;a.
    Aplicando essas regras à nossa função:
f(x)=x^{2}-4x
calculamos a derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(4x\bigr)=2x-4.
Aqui \;f'(x)=2x-4 representa a inclinação da curva em cada ponto x.

Passo 4

Critério de monotonicidade com derivada (intuição):
  • Se \;f'(x)>0 para todos x em um intervalo I, então f é estritamente crescente em I.
  • Se \;f'(x)\ge 0 para todos x em I, então f é não decrescente em I.
    Portanto, vamos estudar o sinal de \;f'(x)=2x-4.

Passo 5

Resolver a desigualdade \;f'(x)>0:
2x-4>0 \quad\Longrightarrow\quad 2x>4 \quad\Longrightarrow\quad x>2.
Resolver a desigualdade \;f'(x)\ge 0:
2x-4\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x\ge 2.
Conclusão imediata: a derivada é positiva para \;x>2 e é zero em \;x=2.

Passo 6

Interpretação prática:
  • Como \;f'(x)>0 quando \;x>2, a função é estritamente crescente no intervalo (2,\infty).
  • Como \;f'(x)\ge 0 quando \;x\ge 2, a função é não decrescente em [2,\infty); a igualdade \;f'(2)=0 significa apenas que a inclinação naquele ponto é zero (vértice), não que a função deixei de aumentar depois de 2.

Passo 7

Verificação alternativa (sem derivada), por completamento do quadrado — serve para entender geometricamente:
f(x)=x^{2}-4x = (x-2)^{2}-4.
Isso mostra que a parábola tem vértice em x=2 (valor mínimo -4) e abre para cima. Logo, para x<2 a função decresce ao aproximar-se de 2 e para x>2 a função cresce ao afastar-se de 2. Isso confirma que a função cresce para x>2.

Passo 8

Exemplo numérico rápido para intuição:
f(0)=0,\quad f(1)=-3,\quad f(2)=-4,\quad f(3)=-3,\quad f(4)=0.
Vê-se que de 0 para 2 os valores diminuem (de 0 para -4) e, depois de 2, os valores aumentam (de -4 para -3 e 0). Portanto 2 é o ponto de mínima e a função cresce para a direita de 2.

Resposta

A função é estritamente crescente em (2,\infty).
A função é não decrescente (crescente no sentido fraco) em [2,\infty).

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