Calcule a derivada de:
f(x)=\left(x^{2}+1\right)(x-3) .

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\left(x^{2}+1\right)(x-3)
e pede para calcular a derivada f'(x).
Informações relevantes que temos:
  • A função é o produto de dois fatores polinomiais: x^{2}+1 e x-3.
  • Polinômios são diferenciáveis para todo x, logo a derivada existe em todo \mathbb{R}.

Passo 2

Escolha do método: podemos calcular f'(x) de duas maneiras equivalentes e simples:
  • Aplicar a regra do produto diretamente (útil quando temos um produto de duas funções).
  • Primeiro expandir o produto para obter um polinômio e depois derivar termo a termo (útil e às vezes mais direto para polinômios).
Vou usar a regra do produto porque ela é curta e explicativa aqui; depois mostro rapidamente a expansão como verificação. A escolha é prática: regra do produto evita multiplicar termos desnecessariamente e é uma técnica que costuma aparecer direto na prova.

Passo 3

Revisão rápida das regras de derivação que vou usar (com explicações simples):
  • Regra do poder (power rule): para n inteiro não negativo,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Exemplo: \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x; \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.
  • Derivada de constante: se c é constante então
\frac{d}{dx}\text{(c)}=0.
Exemplo: \dfrac{d}{dx}(1)=0, \dfrac{d}{dx}(-3)=0.
  • Derivada de função linear: para ax+b,
\frac{d}{dx}(ax+b)=a.
Exemplo: \dfrac{d}{dx}(x-3)=1.

Passo 4

Regra do produto (fórmula e significado): se temos duas funções diferenciáveis u(x) e v(x), então a derivada do produto u(x)\,v(x) é
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)\,v(x)\bigr)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Interpretação: para derivar um produto, derivamos a primeira mantendo a segunda, somamos à primeira mantendo a segunda derivada. É uma fórmula padrão que combina as taxas de variação das duas funções.

Passo 5

Identificar u(x) e v(x) no nosso caso e calcular as derivadas parciais:
u(x)=x^{2}+1,\qquad v(x)=x-3.
Aplicando as regras do Passo 3:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+1\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}(1)=2x+0=2x,
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x-3\bigr)=1.

Passo 6

Aplicar a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
f'(x)=(2x)(x-3)+(x^{2}+1)(1).

Passo 7

Fazer a álgebra e simplificar passo a passo:
Primeiro expandir o primeiro termo:
(2x)(x-3)=2x^{2}-6x.
Somando o segundo termo:
f'(x)=2x^{2}-6x+x^{2}+1.
Agrupando termos semelhantes:
f'(x)=\bigl(2x^{2}+x^{2}\bigr)-6x+1=3x^{2}-6x+1.

Passo 8

Verificação alternativa (opcional, só para ficar seguro): expandir f(x) antes de derivar.
Multiplicando os fatores:
f(x)=(x^{2}+1)(x-3)=x^{3}-3x^{2}+x-3.
Derivando termo a termo:
f'(x)=3x^{2}-6x+1,
que coincide com o resultado anterior — excelente.

Resposta

f'(x)=3x^{2}-6x+1

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