Calcule a derivada de:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A função é o produto de dois fatores polinomiais:
e . - Polinômios são diferenciáveis para todo
, logo a derivada existe em todo .
Passo 2
Escolha do método: podemos calcular
de duas maneiras equivalentes e simples:
- Aplicar a regra do produto diretamente (útil quando temos um produto de duas funções).
- Primeiro expandir o produto para obter um polinômio e depois derivar termo a termo (útil e às vezes mais direto para polinômios).
Vou usar a regra do produto porque ela é curta e explicativa aqui; depois mostro rapidamente a expansão como verificação. A escolha é prática: regra do produto evita multiplicar termos desnecessariamente e é uma técnica que costuma aparecer direto na prova.
Passo 3
Revisão rápida das regras de derivação que vou usar (com explicações simples):
- Regra do poder (power rule): para
inteiro não negativo,
Exemplo:
;
.
- Derivada de constante: se
é constante então
Exemplo:
,
.
- Derivada de função linear: para
,
Exemplo:
.
Passo 4
Regra do produto (fórmula e significado): se temos duas funções diferenciáveis
e
, então a derivada do produto
é
Interpretação: para derivar um produto, derivamos a primeira mantendo a segunda, somamos à primeira mantendo a segunda derivada. É uma fórmula padrão que combina as taxas de variação das duas funções.
Passo 5
Identificar
e
no nosso caso e calcular as derivadas parciais:
Aplicando as regras do Passo 3:
Passo 6
Aplicar a regra do produto:
Substituindo
:
Passo 7
Fazer a álgebra e simplificar passo a passo:
Primeiro expandir o primeiro termo:
Primeiro expandir o primeiro termo:
Somando o segundo termo:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 8
Verificação alternativa (opcional, só para ficar seguro): expandir
antes de derivar.
Multiplicando os fatores:
Multiplicando os fatores:
Derivando termo a termo:
que coincide com o resultado anterior — excelente.