Encontre os pontos críticos de
f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2 .

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)=x^{3}-3x^{2}+2
e pede para encontrar os pontos críticos dessa função.
Informações dadas que vamos usar: a expressão explícita de f(x). O que precisa ser determinado são os valores de x em que há pontos críticos (e, se desejarmos, as coordenadas desses pontos no plano (x,f(x)) e sua classificação).

Passo 2

Definição e observação importante (aula rápida): um ponto crítico de uma função diferenciável é todo ponto onde a derivada é zero ou onde a derivada não existe. Como f é um polinômio, sua derivada existe para todo x. Portanto, os pontos críticos são exatamente as soluções de
f'(x)=0.
Agora calculamos a derivada usando a regra do poder (power rule): a derivada de \,x^{n}\, é \,n x^{n-1}\,.
  • A derivada de x^{3} é 3x^{2}.
  • A derivada de -3x^{2} é -6x.
  • A derivada de 2 é 0.
Logo,
f'(x)=3x^{2}-6x.

Passo 3

Resolver f'(x)=0. Primeiro fatoramos:
f'(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2).
A equação 3x(x-2)=0 tem soluções quando um dos fatores é zero. Assim
x=0 \quad\text{ou}\quad x=2.
Esses são os valores de x onde a derivada se anula, logo são candidatos a pontos críticos.

Passo 4

Calcular as ordenadas dos pontos críticos (valores de f nesses x):
  • Para x=0:
f(0)=0^{3}-3\cdot0^{2}+2=2.
  • Para x=2:
f(2)=2^{3}-3\cdot2^{2}+2=8-12+2=-2.
Portanto os pontos críticos são (0,2) e (2,-2).

Passo 5

Classificação dos pontos críticos (teste da segunda derivada). A segunda derivada é a derivada de f'(x):
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-6x\bigr)=6x-6.
Avaliar em cada ponto:
  • Em x=0: \,f''(0)=6\cdot0-6=-6<0. Como a segunda derivada é negativa, a função é concava para baixo ali: x=0 é um ponto de máximo local.
  • Em x=2: \,f''(2)=6\cdot2-6=6>0. Como a segunda derivada é positiva, a função é côncava para cima ali: x=2 é um ponto de mínimo local.

Resposta

(0,2) — máximo local
(2,-2) — mínimo local

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