Encontre os pontos críticos de
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para encontrar os pontos críticos dessa função.
Informações dadas que vamos usar: a expressão explícita de . O que precisa ser determinado são os valores de
em que há pontos críticos (e, se desejarmos, as coordenadas desses pontos no plano
e sua classificação).
Informações dadas que vamos usar: a expressão explícita de
Passo 2
Definição e observação importante (aula rápida): um ponto crítico de uma função diferenciável é todo ponto onde a derivada é zero ou onde a derivada não existe. Como
é um polinômio, sua derivada existe para todo
. Portanto, os pontos críticos são exatamente as soluções de
Agora calculamos a derivada usando a regra do poder (power rule): a derivada de
é
.
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Logo,
Passo 3
Resolver
. Primeiro fatoramos:
A equação
tem soluções quando um dos fatores é zero. Assim
Esses são os valores de
onde a derivada se anula, logo são candidatos a pontos críticos.
Passo 4
Calcular as ordenadas dos pontos críticos (valores de
nesses
):
- Para
:
- Para
:
Portanto os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Classificação dos pontos críticos (teste da segunda derivada). A segunda derivada é a derivada de
:
Avaliar em cada ponto:
- Em
: . Como a segunda derivada é negativa, a função é concava para baixo ali: é um ponto de máximo local. - Em
: . Como a segunda derivada é positiva, a função é côncava para cima ali: é um ponto de mínimo local.