Determine onde o gráfico da função dada tem concavidade positiva, onde a concavidade é nega e obtenha os pontos de inflexão caso existam.
f(x)=x^{5}-x^{4}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{5}-x^{4} e pede onde o gráfico é côncavo para cima (concavidade positiva), onde é côncavo para baixo (concavidade negativa) e os pontos de inflexão. Vamos usar o critério da segunda derivada:
  • Se \,f''(x)>0 então concavidade positiva.
  • Se \,f''(x)<0 então concavidade negativa.
  • Pontos onde f''(x)=0 e há troca de sinal são pontos de inflexão.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{5}-x^{4}\bigr)=5x^{4}-4x^{3}.

Passo 3

Agora a segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(5x^{4}-4x^{3}\bigr)=20x^{3}-12x^{2}.
Fatorando para estudar o sinal:
f''(x)=4x^{2}(5x-3).

Passo 4

As raízes de f''(x)=0 são
4x^{2}(5x-3)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x=\tfrac{3}{5}.

Passo 5

Analisando o sinal de f''(x)=4x^{2}(5x-3):
  • O fator 4x^{2} é sempre \ge0 e só zera em x=0 sem trocar de sinal.
  • O fator 5x-3 é negativo para x<\tfrac{3}{5} e positivo para x>\tfrac{3}{5}.
    Logo:
  • f''(x)<0 em (-\infty,\tfrac{3}{5}).
  • f''(x)>0 em (\tfrac{3}{5},\infty).
    Em x=0 não há troca de sinal, então não é ponto de inflexão.

Passo 6

O único ponto onde f'' zera e troca de sinal é x=\tfrac{3}{5}, logo esse é o ponto de inflexão. Calculamos
f\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr) =\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^{5}-\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^{4} =\frac{243}{3125}-\frac{81}{625} =\frac{243-405}{3125} =-\frac{162}{3125}.

Resposta

Concavidade negativa em \,(-\infty,\tfrac{3}{5}).
Concavidade positiva em \,(\tfrac{3}{5},\infty).
Ponto de inflexão em \bigl(\tfrac{3}{5},-\tfrac{162}{3125}\bigr).

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