Determine onde o gráfico da função dada tem concavidade positiva, onde a concavidade é nega e obtenha os pontos de inflexão caso existam.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede onde o gráfico é côncavo para cima (concavidade positiva), onde é côncavo para baixo (concavidade negativa) e os pontos de inflexão. Vamos usar o critério da segunda derivada:
- Se
então concavidade positiva. - Se
então concavidade negativa. - Pontos onde
e há troca de sinal são pontos de inflexão.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada:
Passo 3
Agora a segunda derivada:
Fatorando para estudar o sinal:
Passo 4
As raízes de
são
Passo 5
Analisando o sinal de
:
- O fator
é sempre e só zera em sem trocar de sinal. - O fator
é negativo para e positivo para .
Logo: -
em . -
em .
Emnão há troca de sinal, então não é ponto de inflexão.
Passo 6
O único ponto onde
zera e troca de sinal é
, logo esse é o ponto de inflexão. Calculamos
Resposta
Concavidade negativa em
.
Concavidade positiva em .
Ponto de inflexão em .
Concavidade positiva em
Ponto de inflexão em