Calcule cada uma das integrais iteradas e esboce a região D sobre a qual a integral é calculada: \int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{x}(2 x+2 y) d y d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{x}(2x+2y)\,dy\,dx
e esboçar a região D em que ela se aplica. O conteúdo é integração iterada em duas variáveis, em que primeiro integramos em y (mantendo x fixo) e depois em x.
No plano xy, é o “banda” limitada abaixo pela parábola y = x^{2} e acima pela reta y=x, de x=0 até x=1. Para esboçá-la, basta desenhar a parábola e a reta e sombrear a área entre elas.
Resposta
\displaystyle \frac{3}{10}
A região de integração é \displaystyle D = \{(x,y)\mid 0 \le x \le 1,\;x^{2} \le y \le x\}.