Calcule cada uma das integrais iteradas e esboce a região D sobre a qual a integral é calculada:
\int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{x}(2 x+2 y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{x}(2x+2y)\,dy\,dx
e esboçar a região D em que ela se aplica. O conteúdo é integração iterada em duas variáveis, em que primeiro integramos em y (mantendo x fixo) e depois em x.

Passo 2

Vamos calcular a integral interna em y:
\int_{y=x^{2}}^{y=x}(2x+2y)\,dy.
Como x é constante nessa integração, temos
\int_{x^{2}}^{x}2x\,dy = 2x\bigl(y\bigr)\Big|_{y=x^{2}}^{y=x} =2x\,(x - x^{2})
e
\int_{x^{2}}^{x}2y\,dy =2\cdot\frac{y^{2}}{2}\Big|_{y=x^{2}}^{y=x} = \bigl(x^{2} - x^{4}\bigr).
Somando, a integral interna vale
2x\,(x - x^{2}) + \bigl(x^{2} - x^{4}\bigr) =2x^{2} - 2x^{3} + x^{2} - x^{4} =3x^{2} - 2x^{3} - x^{4}.

Passo 3

Agora integramos em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\bigl(3x^{2} - 2x^{3} - x^{4}\bigr)\,dx =3\cdot\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{1} -2\cdot\frac{x^{4}}{4}\Big|_{0}^{1} -\frac{x^{5}}{5}\Big|_{0}^{1}.
Isso dá
\Bigl[x^{3}\Bigr]_{0}^{1} -\Bigl[\tfrac12x^{4}\Bigr]_{0}^{1} -\Bigl[\tfrac{1}{5}x^{5}\Bigr]_{0}^{1} =1 - \tfrac12 - \tfrac15 = \tfrac{3}{10}.

Passo 4

A região D está definida por
0 \le x \le 1, \quad x^{2} \le y \le x.
No plano xy, é o “banda” limitada abaixo pela parábola y = x^{2} e acima pela reta y=x, de x=0 até x=1. Para esboçá-la, basta desenhar a parábola e a reta e sombrear a área entre elas.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{10}
A região de integração é
\displaystyle D = \{(x,y)\mid 0 \le x \le 1,\;x^{2} \le y \le x\}.

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