Determine
, onde
é o triângulo de vértices
e
, orientado no sentido negativo, isto é: de A para B , de B para D e de D para A .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente precisa calcular uma integral de linha fechada, ou seja, uma integral que percorre todo o contorno de uma figura, que nesse caso é um triângulo com vértices em
,
e
. O que a gente vai usar aqui é um pouco de cálculo vetorial, especificamente a Teorema de Green, que ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando a vida quando a curva é fechada como nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da integral que precisamos calcular. A integral dada é:
Aqui, temos:
Passo 3
Agora, vamos lembrar do Teorema de Green, que diz que para uma curva fechada
orientada positivamente (no sentido anti-horário), a integral de linha pode ser transformada em uma integral dupla sobre a região
limitada por
:
No nosso caso, a curva
está orientada no sentido negativo, ou seja, ao contrário do sentido anti-horário. Isso significa que o valor da integral será o inverso do que o Teorema de Green nos daria.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a diferença é:
Passo 5
Agora, vamos determinar a área
do triângulo formado pelos pontos
,
e
.
Como o triângulo tem uma base de 3 unidades (de
a
) e uma altura de 1 unidade (de
a
), a área é:
Passo 6
Aplicando o Teorema de Green, a integral dupla fica:
Mas lembre-se que a orientação da curva
está no sentido negativo, então precisamos inverter o sinal:
Resposta
O valor da integral é
.