Determine ointC 7 y d x+(2 x+raiz1+y^4) d y, onde C é o triângulo de vértices A=(0,0), B=(0,1) e D=(3,1), orientado no sentido negativo, isto é: de A para B , de B para D e de D para A .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente precisa calcular uma integral de linha fechada, ou seja, uma integral que percorre todo o contorno de uma figura, que nesse caso é um triângulo com vértices em A=(0,0) , B=(0,1) e D=(3,1) . O que a gente vai usar aqui é um pouco de cálculo vetorial, especificamente a Teorema de Green, que ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando a vida quando a curva é fechada como nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da integral que precisamos calcular. A integral dada é:
ointC 7 y , dx + (2 x + raiz1+y^4) dy
Aqui, temos:
  • P(x,y) = 7y
  • Q(x,y) = 2x + raiz1+y^4

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teorema de Green, que diz que para uma curva fechada C orientada positivamente (no sentido anti-horário), a integral de linha pode ser transformada em uma integral dupla sobre a região D limitada por C :
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
No nosso caso, a curva C está orientada no sentido negativo, ou seja, ao contrário do sentido anti-horário. Isso significa que o valor da integral será o inverso do que o Teorema de Green nos daria.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x ( 2x + raiz1+y^4 ) = 2
partial Ppartial y = partialpartial y (7y) = 7
Então, a diferença é:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2 - 7 = -5

Passo 5

Agora, vamos determinar a área D do triângulo formado pelos pontos A=(0,0) , B=(0,1) e D=(3,1) .
Como o triângulo tem uma base de 3 unidades (de x=0 a x=3 ) e uma altura de 1 unidade (de y=0 a y=1 ), a área é:
Área = 12 times base times a<ura = 12 times 3 times 1 = 32 Á

Passo 6

Aplicando o Teorema de Green, a integral dupla fica:
integral duplaD (-5) , dA = -5 times Área = -5 times 32 = -152 Á
Mas lembre-se que a orientação da curva C está no sentido negativo, então precisamos inverter o sinal:
ointC P , dx + Q , dy = -( -152 ) = 152

Resposta

O valor da integral é 152 .

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