Decida se as séries abaixo convergem ou divergem:
sumn=1^infty n!2^n

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma série infinita que é assim: sumn=1^infty n!2^n. O que queremos descobrir é se essa série converge ou diverge. Pra isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil quando trabalhamos com séries que envolvem fatorial e exponenciais. A ideia é ver como os termos da série se comportam conforme n aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da série. Aqui, o termo geral da série é an = n!2^n. Nosso objetivo é aplicar o Teste da Razão, que envolve calcular o limite de an+1an quando n tende ao infinito.

Passo 3

Vamos calcular an+1an:
an+1an = (n+1)!2^n+1 div n!2^n = (n+1)!2^n+1 times 2^nn!
Simplificando, temos:
an+1an = (n+1) times n!2 times 2^n times 2^nn! = n+12

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando n tende ao infinito:
limn to infty n+12 = limn to infty n2 + 12 = infty
Como o limite é infinito, que é maior que 1, o Teste da Razão nos diz que a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty n!2^n diverge.

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