Decida se as séries abaixo convergem ou divergem:
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma série infinita que é assim:
. O que queremos descobrir é se essa série converge ou diverge. Pra isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil quando trabalhamos com séries que envolvem fatorial e exponenciais. A ideia é ver como os termos da série se comportam conforme n aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da série. Aqui, o termo geral da série é
. Nosso objetivo é aplicar o Teste da Razão, que envolve calcular o limite de
quando n tende ao infinito.
Passo 3
Vamos calcular
:
Simplificando, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando n tende ao infinito:
Como o limite é infinito, que é maior que 1, o Teste da Razão nos diz que a série diverge.
Resposta
A série
diverge.