Calcule o fluxo do campo F(x, y, z)=(z^3 e^x, x^2 y-z^3 y e^x,-x^2 z+x^2+z^2) através da superfície S, onde S é a semi-esfera x^2+y^2+z^2=5 com z >= 0 e eta normal a S satisfazendo eta cdot k >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para calcular o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = (z^3 e^x, x^2 y - z^3 y e^x, -x^2 z + x^2 + z^2) através da superfície S, que é uma semiesfera definida por x^2 + y^2 + z^2 = 5 com z >= 0. Para isso, vamos usar o conceito de Fluxo de um Campo Vetorial da Cálculo Vetorial, que nos ajuda a entender como um campo “fluxiona” através de uma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de fluxo. O fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície S é dado por:
Fluxo = integral duplaS F cdot eta dS
Onde eta é o vetor normal à superfície S e dS é um elemento de área na superfície.

Passo 3

Para facilitar os cálculos, podemos usar o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência), que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada ao volume delimitado por ela. O teorema diz:
integral duplaS F cdot eta dS = integral triplaV nabla cdot F dV
No nosso caso, S não é uma superfície fechada, mas podemos fechá-la adicionando a base do hemisfério, que é o círculo onde z = 0. Vamos chamar essa base de S'.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Gauss para a superfície fechada composta por S e S':
integral duplaS F cdot eta dS + integral duplaS' F cdot eta dS' = integral triplaV nabla cdot F dV
Queremos encontrar integral duplaS F cdot eta dS, então precisamos calcular os outros dois termos.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular a divergência de F:
nabla cdot F = partialpartial x(z^3 e^x) + partialpartial y(x^2 y - z^3 y e^x) + partialpartial z(-x^2 z + x^2 + z^2)
Vamos calcular cada derivada parcial:
partialpartial x(z^3 e^x) = z^3 e^x
partialpartial y(x^2 y - z^3 y e^x) = x^2 - z^3 e^x
partialpartial z(-x^2 z + x^2 + z^2) = -x^2 + 2z
Somando tudo:
nabla cdot F = z^3 e^x + x^2 - z^3 e^x - x^2 + 2z = 2z

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência:
integral triplaV nabla cdot F dV = integral triplaV 2z dV
Como V é a metade superior da esfera de raio raiz5, podemos usar coordenadas esféricas para simplificar. Em coordenadas esféricas, z = rho cosphi, e o elemento de volume é rho^2 sinphi drho dphi dtheta.
Os limites serão:
rho in [0, raiz5], phi in [0, pi2], theta in [0, 2pi]
Então:
integral triplaV 2z dV = 2 integral0^2pi integral0^pi2 integral0^raiz5 (rho cosphi) cdot rho^2 sinphi drho dphi dtheta
Simplificando:
2 integral0^2pi dtheta integral0^pi2 sinphi cosphi dphi integral0^raiz5 rho^3 drho
Calculando cada integral:
integral0^2pi dtheta = 2pi
integral0^pi2 sinphi cosphi dphi = 12
integral0^raiz5 rho^3 drho = [rho^44]0^raiz5 = (raiz5)^44 = 254
Multiplicando tudo:
2 cdot 2pi cdot 12 cdot 254 = 2pi cdot 254 = 50pi4 = 25pi2

Passo 7

Agora, precisamos calcular a integral sobre a base S'. Na base, z = 0, então F se torna:
F(x, y, 0) = (0, x^2 y, x^2)
O vetor normal eta na base aponta para baixo, já que a normal deve satisfazer eta cdot k >= 0. Portanto, eta = (0, 0, -1).
Calculando o produto escalar:
F cdot eta = (0, x^2 y, x^2) cdot (0, 0, -1) = -x^2
Então, a integral sobre S' é:
integral duplaS' F cdot eta dS' = integral duplaS' -x^2 dS'
Em coordenadas polares, onde x = rcostheta e y = rsintheta, com r in [0, raiz5] e theta in [0, 2pi]:
integral duplaS' -x^2 dS' = -integral0^2pi integral0^raiz5 (rcostheta)^2 cdot r dr dtheta = -integral0^2pi cos^2theta dtheta integral0^raiz5 r^3 dr
Calculando as integrais:
integral0^2pi cos^2theta dtheta = pi
integral0^raiz5 r^3 dr = (raiz5)^44 = 254
Multiplicando:
- pi cdot 254 = -25pi4

Passo 8

Voltando à equação do Teorema de Gauss:
integral duplaS F cdot eta dS + (-25pi4) = 25pi2
Isolando integral duplaS F cdot eta dS:
integral duplaS F cdot eta dS = 25pi2 + 25pi4 = 50pi4 + 25pi4 = 75pi4

Resposta

O fluxo do campo F através da superfície S é boxeddfrac75,pi4.

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