Calcule o fluxo do campo
através da superfície
, onde
é a semi-esfera
com
e
normal a
satisfazendo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
, que é uma semiesfera definida por
com
. Para isso, vamos usar o conceito de Fluxo de um Campo Vetorial da Cálculo Vetorial, que nos ajuda a entender como um campo “fluxiona” através de uma superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de fluxo. O fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície
é dado por:
Onde
é o vetor normal à superfície
e
é um elemento de área na superfície.
Passo 3
Para facilitar os cálculos, podemos usar o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência), que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada ao volume delimitado por ela. O teorema diz:
No nosso caso,
não é uma superfície fechada, mas podemos fechá-la adicionando a base do hemisfério, que é o círculo onde
. Vamos chamar essa base de
.
Passo 4
Aplicando o Teorema de Gauss para a superfície fechada composta por
e
:
Queremos encontrar
, então precisamos calcular os outros dois termos.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular a divergência de
:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Somando tudo:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência:
Como
é a metade superior da esfera de raio
, podemos usar coordenadas esféricas para simplificar. Em coordenadas esféricas,
, e o elemento de volume é
.
Os limites serão:
Então:
Simplificando:
Calculando cada integral:
Multiplicando tudo:
Passo 7
Agora, precisamos calcular a integral sobre a base
. Na base,
, então
se torna:
O vetor normal
na base aponta para baixo, já que a normal deve satisfazer
. Portanto,
.
Calculando o produto escalar:
Então, a integral sobre
é:
Em coordenadas polares, onde
e
, com
e
:
Calculando as integrais:
Multiplicando:
Passo 8
Voltando à equação do Teorema de Gauss:
Isolando
:
Resposta
O fluxo do campo
através da superfície
é
.