Determine se as operações binárias * sobre \mathbb{R}_{+}^{*} é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
\quad a * b=a \log _{10} b.

Passo 1

O enunciado dá a operação binária definida em \mathbb{R}_{+}^{*} por
a*b = a\log_{10} b.
As perguntas são: 1) a operação é associativa? 2) a operação é comutativa?
Lista das informações relevantes: a,b,c são números reais estritamente positivos ( >0), e \log_{10} é o logaritmo de base 10. Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Definição de comutatividade (explicação didática): uma operação * é comutativa se, para todo a,b em \mathbb{R}_{+}^{*},
a*b = b*a.
Aqui, escrever essa igualdade com a operação dada significa exigir
a\log_{10} b = b\log_{10} a.
Isso é uma igualdade entre duas expressões que depende de a e b. Para ver se vale para todos os a,b, o jeito mais direto é testar um par simples e ver se a igualdade falha (um contraexemplo basta para provar que não é comutativa).

Passo 3

Contraexemplo para comutatividade (passo a passo e cálculo): escolha a=2 e b=10 (ambos em \mathbb{R}_{+}^{*}). Calcule os dois lados:
a*b = 2\log_{10}10 = 2\cdot 1 = 2.
b*a = 10\log_{10}2 \approx 10\cdot 0,3010 \approx 3,010.
Como 2 \neq 3,010, concluímos que a igualdade a\log_{10} b = b\log_{10} a não vale para todos a,b. Logo, a operação não é comutativa. (Observação: há casos especiais em que é verdade, por exemplo quando a=b, mas a comutatividade exige que valha para todo par — e aí falha.)

Passo 4

Definição de associatividade (explicação didática): uma operação * é associativa se, para todo a,b,c em \mathbb{R}_{+}^{*},
(a*b)*c = a*(b*c).
Para testar essa propriedade, escrevemos cada lado usando a definição de * e comparamos.

Passo 5

Computando o lado esquerdo (a*b)*c passo a passo:
a*b = a\log_{10} b,
então
(a*b)*c = (a\log_{10} b)*c = (a\log_{10} b)\log_{10} c = a\bigl(\log_{10} b\bigr)\bigl(\log_{10} c\bigr).
Aqui usei a associatividade da multiplicação usual para agrupar os fatores.

Passo 6

Computando o lado direito a*(b*c) passo a passo:
b*c = b\log_{10} c,
então
a*(b*c) = a*(b\log_{10} c) = a\log_{10}\bigl(b\log_{10} c\bigr).

Passo 7

Comparação dos dois lados e teste com contraexemplo: para que a operação seja associativa precisaríamos ter, para todo b,c>0,
\bigl(\log_{10} b\bigr)\bigl(\log_{10} c\bigr) = \log_{10}\bigl(b\log_{10} c\bigr).
Isso não é uma identidade verdadeira para todos b,c. Novamente um contraexemplo basta. Tome b=10 e c=2. Então:
lado esquerdo:
\bigl(\log_{10}10\bigr)\bigl(\log_{10}2\bigr) = 1\cdot 0,3010\approx 0,3010.
lado direito:
\log_{10}\bigl(10\cdot\log_{10}2\bigr)=\log_{10}(10\cdot 0,3010)=\log_{10}3,010\approx 0,4786.
Os valores são diferentes ( 0,3010 \neq 0,4786), portanto (a*b)*c \neq a*(b*c) nesse exemplo, e logo a operação não é associativa em geral.

Passo 8

Resumo didático final e motivação: para provar que uma operação não tem alguma propriedade (comutatividade ou associatividade) basta encontrar um par (ou tripla) de elementos que violem a igualdade exigida. Fiz exatamente isso: um par ( 2,10) mostrou a falta de comutatividade; uma tripla ( a arbitrário com b=10,c=2, e qualquer a>0) mostrou a falta de associatividade. Não há necessidade de buscar uma prova negativa mais abstrata — contraexemplos são conclusivos.

Resposta

Associativa: não
Comutativa: não

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