Determine se as operações binárias * sobre
é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado dá a operação binária definida em
por
As perguntas são: 1) a operação é associativa? 2) a operação é comutativa?
Lista das informações relevantes: são números reais estritamente positivos (
), e
é o logaritmo de base 10. Não há outras restrições no enunciado.
Lista das informações relevantes:
Passo 2
Definição de comutatividade (explicação didática): uma operação
é comutativa se, para todo
em
,
Aqui, escrever essa igualdade com a operação dada significa exigir
Isso é uma igualdade entre duas expressões que depende de
e
. Para ver se vale para todos os
, o jeito mais direto é testar um par simples e ver se a igualdade falha (um contraexemplo basta para provar que não é comutativa).
Passo 3
Contraexemplo para comutatividade (passo a passo e cálculo): escolha
e
(ambos em
). Calcule os dois lados:
Como
, concluímos que a igualdade
não vale para todos
. Logo, a operação não é comutativa. (Observação: há casos especiais em que é verdade, por exemplo quando
, mas a comutatividade exige que valha para todo par — e aí falha.)
Passo 4
Definição de associatividade (explicação didática): uma operação
é associativa se, para todo
em
,
Para testar essa propriedade, escrevemos cada lado usando a definição de
e comparamos.
Passo 5
Computando o lado esquerdo
passo a passo:
então
Aqui usei a associatividade da multiplicação usual para agrupar os fatores.
Passo 6
Computando o lado direito
passo a passo:
então
Passo 7
Comparação dos dois lados e teste com contraexemplo: para que a operação seja associativa precisaríamos ter, para todo
,
Isso não é uma identidade verdadeira para todos
. Novamente um contraexemplo basta. Tome
e
. Então:
lado esquerdo:
lado direito:
Os valores são diferentes (
), portanto
nesse exemplo, e logo a operação não é associativa em geral.
Passo 8
Resumo didático final e motivação: para provar que uma operação não tem alguma propriedade (comutatividade ou associatividade) basta encontrar um par (ou tripla) de elementos que violem a igualdade exigida. Fiz exatamente isso: um par (
) mostrou a falta de comutatividade; uma tripla (
arbitrário com
, e qualquer
) mostrou a falta de associatividade. Não há necessidade de buscar uma prova negativa mais abstrata — contraexemplos são conclusivos.
Resposta
Associativa: não
Comutativa: não
Comutativa: não