Determine se as operações binárias * sobre \mathbb{R}_{+}^{*} é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
\quad a * b=\frac{a b}{a+b+1}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a operação binária * em \mathbb{R}_{+}^{*} é associativa e se é comutativa, onde a operação é dada por
a*b=\frac{ab}{a+b+1}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O domínio é \mathbb{R}_{+}^{*} (números reais estritamente positivos).
  • A operação entre a e b é \dfrac{ab}{a+b+1}.
  • Precisamos responder separadamente sobre associatividade (se (a*b)*c = a*(b*c) para todos a,b,c>0) e sobre comutatividade (se a*b = b*a para todos a,b>0).

Passo 2

Verificando comutatividade de forma direta e didática. A operação é
a*b=\frac{ab}{a+b+1}.
Note que a multiplicação ab é comutativa (ou seja, ab=ba) e a soma a+b também é comutativa (ou seja, a+b=b+a). Portanto
a*b=\frac{ab}{a+b+1}=\frac{ba}{b+a+1}=b*a.
Conclusão: a operação é comutativa. (Explicação: trocando a e b a expressão não muda.)

Passo 3

Agora vamos checar associatividade. Lembre que associatividade significa que, para todo a,b,c>0,
(a*b)*c \stackrel{?}{=} a*(b*c).
Vamos calcular cada lado passo a passo, mostrando toda a álgebra para você aprender a reproduzir na prova.

Passo 4

Calculemos (a*b)*c. Primeiro escrevemos a*b:
a*b=\frac{ab}{a+b+1}.
Agora
(a*b)*c=\frac{\left(\dfrac{ab}{a+b+1}\right)c}{\dfrac{ab}{a+b+1}+c+1}.
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por a+b+1:
(a*b)*c=\frac{\dfrac{abc}{a+b+1}}{\dfrac{ab + (c+1)(a+b+1)}{a+b+1}} =\frac{abc}{ab + (c+1)(a+b+1)}.
Expandindo (c+1)(a+b+1):
(c+1)(a+b+1)=c(a+b+1)+1\cdot(a+b+1)=ac+bc+c+a+b+1.
Assim
(a*b)*c=\frac{abc}{ab + ac + bc + a + b + c + 1}.

Passo 5

Calculemos a*(b*c) de forma análoga. Primeiro
b*c=\frac{bc}{b+c+1}.
Então
a*(b*c)=\frac{a\left(\dfrac{bc}{b+c+1}\right)}{a+\dfrac{bc}{b+c+1}+1} =\frac{\dfrac{abc}{b+c+1}}{\dfrac{a(b+c+1)+bc+ (b+c+1)}{b+c+1}} =\frac{abc}{a(b+c+1)+bc+(b+c+1)}.
Expandindo a(b+c+1) e somando os termos:
a(b+c+1)+bc+(b+c+1)=ab+ac+a+bc+b+c+1.
Logo
a*(b*c)=\frac{abc}{ab + ac + bc + a + b + c + 1}.

Passo 6

Comparando os resultados dos passos anteriores, ambos os lados resultaram na mesma expressão:
(a*b)*c=\frac{abc}{ab + ac + bc + a + b + c + 1}=a*(b*c).
Portanto a operação é associativa para todos a,b,c>0.

Passo 7

Para confortar, um exemplo numérico rápido (você pode conferir na prova tentando valores simples): tome a=1, b=2, c=3. Então
(a*b)*c=(1*2)*3=\frac{1\cdot2}{1+2+1}*3=\frac{2}{4}*3=\frac{\tfrac{2}{4}\cdot3}{\tfrac{2}{4}+3+1}=\frac{\tfrac{6}{4}}{\tfrac{2}{4}+4}=\frac{1,5}{0,5+4}=\frac{1,5}{4,5}=\frac{1}{3},
e
a*(b*c)=1*(2*3)=1*\frac{6}{2+3+1}=1*\frac{6}{6}=1*1=\frac{1\cdot1}{1+1+1}=\frac{1}{3},
confirmando na prática que os dois lados coincidem. (Os cálculos acima seguem os mesmos passos algébricos mostrados earlier.)

Resposta

Associativa: Sim
Comutativa: Sim

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