Determine se as operações binárias * sobre
é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a operação binária
em
é associativa e se é comutativa, onde a operação é dada por
Informações relevantes fornecidas:
- O domínio é
(números reais estritamente positivos). - A operação entre
e é . - Precisamos responder separadamente sobre associatividade (se
para todos ) e sobre comutatividade (se para todos ).
Passo 2
Verificando comutatividade de forma direta e didática. A operação é
Note que a multiplicação
é comutativa (ou seja,
) e a soma
também é comutativa (ou seja,
). Portanto
Conclusão: a operação é comutativa. (Explicação: trocando
e
a expressão não muda.)
Passo 3
Agora vamos checar associatividade. Lembre que associatividade significa que, para todo
,
Vamos calcular cada lado passo a passo, mostrando toda a álgebra para você aprender a reproduzir na prova.
Passo 4
Calculemos
. Primeiro escrevemos
:
Agora
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por
:
Expandindo
:
Assim
Passo 5
Calculemos
de forma análoga. Primeiro
Então
Expandindo
e somando os termos:
Logo
Passo 6
Comparando os resultados dos passos anteriores, ambos os lados resultaram na mesma expressão:
Portanto a operação é associativa para todos
.
Passo 7
Para confortar, um exemplo numérico rápido (você pode conferir na prova tentando valores simples): tome
,
,
. Então
e
confirmando na prática que os dois lados coincidem. (Os cálculos acima seguem os mesmos passos algébricos mostrados earlier.)
Resposta
Associativa: Sim
Comutativa: Sim