Determine se as operações binárias * sobre
é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado dá a operação binária definida em
por
para quaisquer
. As perguntas são: a operação é associativa? a operação é comutativa? Listei as informações relevantes:
é o conjunto dos reais estritamente positivos; a expressão dentro da raiz é sempre
, logo a raiz quadrada é bem definida e não-negativa.
Passo 2
Definição de comutatividade (explicação didática): dizemos que uma operação
é comutativa se, para todo
do domínio, valer
Aqui a fórmula de
é simétrica em
e
(trocar
por
não altera a soma dentro da raiz). Mostrando isso:
Portanto a operação é comutativa. Observação didática: sempre que a expressão que define a operação é invariante pela troca
, a operação será comutativa.
Passo 3
Definição de associatividade (explicação didática): dizemos que
é associativa se, para todo
do domínio, valer
Isto significa que não importa a ordem em que fazemos as operações binárias, o resultado final (aplicando
sucessivamente) deve ser o mesmo.
Passo 4
Cálculo de
passo a passo. Primeiro escrevo
:
Agora aplico
entre
e
:
Aqui uso a propriedade importante: para
vale
. Como
, posso simplificar:
Passo 5
Cálculo de
passo a passo. Primeiro escrevo
:
Agora aplico
entre
e
:
Usando a mesma propriedade
(porque
), obtenho:
Passo 6
Comparando os resultados dos passos anteriores vemos que, para quaisquer
,
Portanto a operação é associativa. Observação didática: o passo chave foi perceber que o quadrado da raiz anula a raiz porque o que está dentro da raiz é não-negativo.
Passo 7
Exemplo numérico-verificação (para fixar a ideia): tome
,
,
.
Calcule .
Então .
Por outro lado e
.
Confere com a prova geral.
Calcule
Então
Por outro lado
Confere com a prova geral.
Resposta
A operação é associativa e comutativa.