Determine se as operações binárias * sobre \mathbb{R}_{+}^{*} é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
\quad a * b=\sqrt{a^{2}+b^{2}+1}.

Passo 1

O enunciado dá a operação binária definida em \mathbb{R}_{+}^{*} por
a*b=\sqrt{a^{2}+b^{2}+1}
para quaisquer a,b\in\mathbb{R}_{+}^{*}. As perguntas são: a operação é associativa? a operação é comutativa? Listei as informações relevantes: \mathbb{R}_{+}^{*} é o conjunto dos reais estritamente positivos; a expressão dentro da raiz é sempre a^{2}+b^{2}+1>0, logo a raiz quadrada é bem definida e não-negativa.

Passo 2

Definição de comutatividade (explicação didática): dizemos que uma operação * é comutativa se, para todo a,b do domínio, valer
a*b=b*a.
Aqui a fórmula de a*b é simétrica em a e b (trocar a por b não altera a soma dentro da raiz). Mostrando isso:
a*b=\sqrt{a^{2}+b^{2}+1}=\sqrt{b^{2}+a^{2}+1}=b*a.
Portanto a operação é comutativa. Observação didática: sempre que a expressão que define a operação é invariante pela troca a\leftrightarrow b, a operação será comutativa.

Passo 3

Definição de associatividade (explicação didática): dizemos que * é associativa se, para todo a,b,c do domínio, valer
(a*b)*c=a*(b*c).
Isto significa que não importa a ordem em que fazemos as operações binárias, o resultado final (aplicando * sucessivamente) deve ser o mesmo.

Passo 4

Cálculo de (a*b)*c passo a passo. Primeiro escrevo a*b:
a*b=\sqrt{a^{2}+b^{2}+1}.
Agora aplico * entre a*b e c:
(a*b)*c=\sqrt{\bigl(\sqrt{a^{2}+b^{2}+1}\bigr)^{2}+c^{2}+1}.
Aqui uso a propriedade importante: para x\ge 0 vale (\sqrt{x})^{2}=x. Como \sqrt{a^{2}+b^{2}+1}\ge 0, posso simplificar:
(a*b)*c=\sqrt{a^{2}+b^{2}+1+c^{2}+1}=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2}.

Passo 5

Cálculo de a*(b*c) passo a passo. Primeiro escrevo b*c:
b*c=\sqrt{b^{2}+c^{2}+1}.
Agora aplico * entre a e b*c:
a*(b*c)=\sqrt{a^{2}+\bigl(\sqrt{b^{2}+c^{2}+1}\bigr)^{2}+1}.
Usando a mesma propriedade (\sqrt{x})^{2}=x (porque \sqrt{b^{2}+c^{2}+1}\ge 0), obtenho:
a*(b*c)=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+1+1}=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2}.

Passo 6

Comparando os resultados dos passos anteriores vemos que, para quaisquer a,b,c\in\mathbb{R}_{+}^{*},
(a*b)*c=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2}=a*(b*c).
Portanto a operação é associativa. Observação didática: o passo chave foi perceber que o quadrado da raiz anula a raiz porque o que está dentro da raiz é não-negativo.

Passo 7

Exemplo numérico-verificação (para fixar a ideia): tome a=1, b=2, c=3.
Calcule a*b=\sqrt{1^{2}+2^{2}+1}=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}.
Então (a*b)*c=\sqrt{(\sqrt{6})^{2}+3^{2}+1}=\sqrt{6+9+1}=\sqrt{16}=4.
Por outro lado b*c=\sqrt{2^{2}+3^{2}+1}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14} e
a*(b*c)=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{14})^{2}+1}=\sqrt{1+14+1}=\sqrt{16}=4.
Confere com a prova geral.

Resposta

A operação é associativa e comutativa.

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