Determine se as operações binárias * sobre (\mathbb{R}) é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado define em
a operação binária
e pede para verificar duas propriedades:
– comutatividade, isto é, se para todo
;
– associatividade, isto é, se para todo
.
– comutatividade, isto é, se
– associatividade, isto é, se
Passo 2
Para testar comutatividade, basta ver se a expressão é simétrica em
e
. Note que
Como a soma
é comutativa, temos
para todo
. Logo, a operação é comutativa.
Passo 3
Para testar associatividade, comparamos
e
.
Primeiro, calculemos :
Primeiro, calculemos
então
Agora, calculemos
:
então
Como ambos dão o mesmo resultado,
para todo
. Logo, a operação é associativa.
Resposta
A operação
em
é comutativa e associativa.