Determine se as operações binárias * sobre (\mathbb{R}) é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
a * b=\sqrt{a^{2}+b^{2}+1}.

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R} a operação binária
a * b = \sqrt{a^{2} + b^{2} + 1}
e pede para verificar duas propriedades:
– comutatividade, isto é, se a*b = b*a para todo a,b\in\mathbb{R};
– associatividade, isto é, se (a*b)*c = a*(b*c) para todo a,b,c\in\mathbb{R}.

Passo 2

Para testar comutatividade, basta ver se a expressão é simétrica em a e b. Note que
a * b = \sqrt{a^{2} + b^{2} + 1} \quad\text{e}\quad b * a = \sqrt{b^{2} + a^{2} + 1}.
Como a soma a^{2}+b^{2} é comutativa, temos
a * b = b * a
para todo a,b. Logo, a operação é comutativa.

Passo 3

Para testar associatividade, comparamos (a*b)*c e a*(b*c).
Primeiro, calculemos (a*b)*c:
a*b = \sqrt{a^{2} + b^{2} + 1},
então
(a*b)*c = \sqrt{\bigl(\sqrt{a^{2}+b^{2}+1}\bigr)^{2} + c^{2} + 1} = \sqrt{\,a^{2} + b^{2} + 1 + c^{2} + 1\,} = \sqrt{\,a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2\,}.
Agora, calculemos a*(b*c):
b*c = \sqrt{b^{2} + c^{2} + 1},
então
a*(b*c) = \sqrt{a^{2} + \bigl(\sqrt{b^{2}+c^{2}+1}\bigr)^{2} + 1} = \sqrt{\,a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1 + 1\,} = \sqrt{\,a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2\,}.
Como ambos dão o mesmo resultado,
(a*b)*c = a*(b*c)
para todo a,b,c. Logo, a operação é associativa.

Resposta

A operação a*b=\sqrt{a^{2}+b^{2}+1} em \mathbb{R} é comutativa e associativa.

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